Показникові рівняння та нерівності

Показникові рівняння та нерівності

Показникові рівняння — це рівняння, у яких змінна стоїть у показнику степеня. Тема 11 класу, яка регулярно трапляється на НМТ і виглядає складною лише доти, доки учень не бачить, що всі задачі зводяться до чотирьох стандартних прийомів. Нерівності додають до цього одну-єдину, але дуже підступну деталь: при основі, меншій за одиницю, знак нерівності перевертається. На заняттях у Tutor-Math ми відпрацьовуємо ці прийоми окремими блоками — так учень перестає гадати, який метод застосувати, і починає впізнавати тип рівняння з першого погляду.

Означення й головна властивість

Означення. Показниковим називають рівняння, у якому змінна входить лише в показник степеня при сталій основі: \(a^{f(x)} = b\), \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\) і подібні, де \(a > 0\), \(a \neq 1\).

Уся техніка розв'язування спирається на одну властивість показникової функції — вона строго монотонна: при \(a > 1\) зростає, при \(0 < a < 1\) спадає. Монотонна функція кожне своє значення набуває рівно один раз, тому рівні степені можливі тільки при рівних показниках.

Основна рівносильність. Якщо \(a > 0\) і \(a \neq 1\), то \[a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x).\]

Зверніть увагу ще на одну річ, яка потім врятує вас у заміні змінної: показникова функція набуває тільки додатних значень. Рівняння \(2^x = -8\) або \(3^x = 0\) розв'язків не мають, і це видно без жодних перетворень.

Метод зведення до однакової основи

Базовий прийом: обидві частини записують як степені одного й того ж числа, після чого прирівнюють показники. Працює, коли основи є степенями спільного числа: \(4 = 2^2\), \(8 = 2^3\), \(9 = 3^2\), \(27 = 3^3\), \(0{,}2 = 5^{-1}\).

Тут неминуче знадобляться властивості степенів, зокрема робота з від'ємним показником: \((a^m)^n = a^{mn}\), \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\), \(\dfrac{1}{a^n} = a^{-n}\).

Винесення спільного множника

Коли в рівнянні кілька степенів з однією основою, але різними показниками, які відрізняються на сталу — \(3^{x+2}\) і \(3^x\), \(2^{x-1}\) і \(2^{x+3}\) — виносять за дужки найменший степінь. Ключ у тому, що \(a^{x+k} = a^x \cdot a^k\), тобто кожен доданок — це \(a^x\), помножений на конкретне число.

Заміна змінної: зведення до квадратного рівняння

Якщо в рівнянні є \(a^{2x}\) (він же \(\left(a^{2}\right)^{x}\) — це записи \(4^x\), \(9^x\), \(25^x\)) і \(a^x\), робимо заміну \(t = a^x\) і отримуємо звичайне квадратне рівняння. Корисно пам'ятати, що \(4^x = (2^2)^x = (2^x)^2\) — саме ця рівність і робить заміну можливою.

Обов'язкова умова заміни. Оскільки \(t = a^x > 0\) для будь-якого \(x\), усі недодатні корені квадратного рівняння відкидають. Повертатися до змінної \(x\) можна лише з додатних значень \(t\).

Це не формальність, а половина балу за задачу. Учень знаходить \(t = 4\) і \(t = -3\), радіє двом кореням, повертається до \(2^x = -3\) і пише щось на кшталт \(x = -\log_2 3\). Такого кореня не існує: степінь із додатною основою від'ємним бути не може.

Однорідні рівняння

Означення. Однорідним показниковим називають рівняння вигляду \(A \cdot a^{2x} + B \cdot (ab)^{x} + C \cdot b^{2x} = 0\) — усі три доданки мають однаковий сумарний «степінь».

Розпізнати його легко: середній доданок містить добуток основ. Наприклад, у рівнянні з \(4^x\), \(6^x\), \(9^x\) бачимо \(6 = 2 \cdot 3\), \(4 = 2^2\), \(9 = 3^2\). Розв'язують так: ділять усе рівняння на \(b^{2x}\) (це законно, бо \(b^{2x} \neq 0\) ніколи) і роблять заміну \(t = \left(\dfrac{a}{b}\right)^x\). Знову ж таки — тільки додатні \(t\).

Показникові нерівності: головна пастка теми

Перехід від нерівності степенів до нерівності показників залежить від основи. Причина — монотонність: зростаюча функція зберігає порядок, спадна його перевертає.

Правило. Нехай \(a > 1\). Тоді \(a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)\) — знак зберігається.
Нехай \(0 < a < 1\). Тоді \(a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x)\) — знак змінюється на протилежний.

Перевірити правило можна на пальцях, без теорії. Візьміть \(a = \dfrac{1}{2}\): \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}\), а \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}\). Показник більший, а сам степінь менший — бо кожне наступне множення на \(\dfrac{1}{2}\) зменшує число. Отже, для основи \(\dfrac{1}{2}\) більший показник дає менший степінь, і при переході до показників нерівність доводиться перевертати.

Практична порада: якщо основа дробова, зведіть її до цілої через від'ємний показник — \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k} = 3^{-k}\). Тоді працюєте з основою \(3 > 1\), знак зберігається, а «перевертання» відбувається автоматично при множенні показників на \(-1\). Це той самий крок, що й у звичайних нерівностях, де множення на від'ємне число змінює знак.

Приклади з розв'язанням

Приклад 1 (однакова основа). Розв'язати \(9^{x+1} = 27^{x-1}\).

Обидві основи — степені трійки: \(9 = 3^2\), \(27 = 3^3\). Отримуємо \(3^{2(x+1)} = 3^{3(x-1)}\), тобто \(3^{2x+2} = 3^{3x-3}\). Прирівнюємо показники: \(2x + 2 = 3x - 3\), звідки \(x = 5\).

Перевірка: \(9^{6} = 531441\), \(27^{4} = 531441\) — рівність виконується.

Відповідь: \(x = 5\).

Приклад 2 (спільний множник). Розв'язати \(3^{x+2} - 3^{x} = 72\).

Записуємо \(3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x\) і виносимо \(3^x\) за дужки: \(3^x(9 - 1) = 72\), тобто \(8 \cdot 3^x = 72\), звідки \(3^x = 9 = 3^2\) і \(x = 2\).

Перевірка: \(3^{4} - 3^{2} = 81 - 9 = 72\).

Відповідь: \(x = 2\).

Приклад 3 (заміна змінної). Розв'язати \(4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0\).

Оскільки \(4^x = (2^x)^2\), робимо заміну \(t = 2^x\), \(t > 0\). Маємо \(t^2 - 5t + 4 = 0\). За теоремою Вієта \(t_1 = 1\), \(t_2 = 4\) — обидва додатні, обидва підходять.

Повертаємось: \(2^x = 1 = 2^0 \Rightarrow x = 0\); \(2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2\).

Перевірка: при \(x = 0\): \(1 - 5 + 4 = 0\); при \(x = 2\): \(16 - 20 + 4 = 0\).

Відповідь: \(x = 0\), \(x = 2\).

Приклад 4 (заміна з відкиданням кореня). Розв'язати \(9^{x} - 2 \cdot 3^{x} - 3 = 0\).

Заміна \(t = 3^x\), \(t > 0\), бо \(9^x = (3^x)^2\). Рівняння: \(t^2 - 2t - 3 = 0\), корені \(t_1 = 3\), \(t_2 = -1\).

Корінь \(t_2 = -1\) відкидаємо: \(3^x\) не може дорівнювати від'ємному числу. Лишається \(3^x = 3\), тобто \(x = 1\).

Перевірка: \(9^{1} - 2 \cdot 3^{1} - 3 = 9 - 6 - 3 = 0\).

Відповідь: \(x = 1\).

Приклад 5 (однорідне). Розв'язати \(3 \cdot 4^{x} - 5 \cdot 6^{x} + 2 \cdot 9^{x} = 0\).

Тут \(4 = 2^2\), \(6 = 2 \cdot 3\), \(9 = 3^2\) — рівняння однорідне. Ділимо обидві частини на \(9^x \neq 0\): \[3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{x} - 5 \cdot \left(\frac{6}{9}\right)^{x} + 2 = 0.\] Оскільки \(\dfrac{4}{9} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2\), а \(\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\), заміна \(t = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{x} > 0\) дає \(3t^2 - 5t + 2 = 0\). Корені: \(t_1 = 1\), \(t_2 = \dfrac{2}{3}\) — обидва додатні.

Повертаємось: \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x} = 1 \Rightarrow x = 0\); \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow x = 1\).

Перевірка: при \(x = 0\): \(3 - 5 + 2 = 0\); при \(x = 1\): \(3 \cdot 4 - 5 \cdot 6 + 2 \cdot 9 = 12 - 30 + 18 = 0\).

Відповідь: \(x = 0\), \(x = 1\).

Приклад 6 (дві нерівності на контрасті).

а) Розв'язати \(2^{x^2 - 3x} < 16\). Основа \(2 > 1\), тому знак зберігається. Записуємо \(16 = 2^4\) і переходимо до показників: \(x^2 - 3x < 4\), тобто \(x^2 - 3x - 4 < 0\). Корені \(-1\) і \(4\), парабола вітками вгору, від'ємна між коренями: \(-1 < x < 4\).

Перевірка: при \(x = 0\) маємо \(2^{0} = 1 < 16\) — так; при \(x = 5\) маємо \(2^{10} = 1024 < 16\) — ні; при \(x = -1\) отримуємо рівно \(16\), межа не входить.

Відповідь: \(x \in (-1;\; 4)\).

б) Розв'язати \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x-1} > \dfrac{1}{27}\). Основа \(\dfrac{1}{3}\), і \(0 < \dfrac{1}{3} < 1\), тому знак нерівності змінюється. Записуємо \(\dfrac{1}{27} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{3}\) і переходимо до показників з перевертанням: \(2x - 1 < 3\), звідки \(2x < 4\) і \(x < 2\).

Перевірка: при \(x = 1\) маємо \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1} = \dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{27}\) — так; при \(x = 3\) маємо \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5} = \dfrac{1}{243}\), що менше за \(\dfrac{1}{27}\) — ні. Якби знак не перевернули, отримали б \(x > 2\), тобто рівно протилежну й хибну відповідь.

Відповідь: \(x \in (-\infty;\; 2)\).

Типові помилки

• Не перевернули знак при основі \(0 < a < 1\). Головна помилка теми. З \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x} > \dfrac{1}{8}\) пишуть \(x > 3\) замість правильного \(x < 3\). Правило: перш ніж переходити до показників, вголос назвіть основу і порівняйте її з одиницею.
• Залишили від'ємний корінь після заміни. Знайшли \(t = -1\) і намагаються розв'язати \(3^x = -1\). Умова \(t > 0\) не «додаткова перевірка», а частина заміни — записуйте її одразу.
• Перевернули знак у нерівності з основою \(a > 1\) «про всяк випадок». Надмірна обережність шкодить не менше за неуважність: при \(a > 1\) знак лишається без змін.
• Плутають \(a^{2x}\) і \(2a^{x}\). \(4^x = (2^x)^2\), а не \(2 \cdot 2^x\). Друге — це \(2^{x+1}\).
• Ділять однорідне рівняння на \(a^x\) і губляться в дробах. Ділити треба на степінь з найбільшою основою (або з найменшою — послідовно), тоді після заміни виходить акуратне квадратне рівняння.
• Скорочують показники без спільної основи. З рівності \(2^{x} = 3^{x}\) не випливає \(x\) будь-яке — тут єдиний корінь \(x = 0\), і знайти його можна лише діленням: \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^x = 1\).

Висновок

Показникові рівняння тримаються на чотирьох прийомах: однакова основа, винесення спільного множника, заміна змінної та однорідність. Нерівності додають одне правило про основу, менше за одиницю, — і саме воно приносить найбільше втрачених балів. Якщо ці конструкції поки не складаються в систему, приходьте на пробне заняття: за одну зустріч ми розберемо, який тип рівняння ви впізнаєте одразу, а який досі змушує вгадувати.

Як зрозуміти, який метод застосувати?

Дивіться на основи. Одна основа й один степінь — зводимо до однакової основи. Одна основа, показники відрізняються на сталу — виносимо спільний множник. Є \(a^{2x}\) і \(a^{x}\) — заміна змінної. Три доданки, і середня основа є добутком крайніх — однорідне рівняння, ділимо на крайній степінь.

Чому в нерівності з основою, меншою за одиницю, знак змінюється?

Бо функція \(y = a^x\) при \(0 < a < 1\) спадає: чим більший показник, тим менше значення степеня. Порівняння степенів і порівняння показників дають протилежні результати, тому при переході від одного до другого знак нерівності перевертається.

Чи завжди після заміни \(t = a^x\) треба писати \(t > 0\)?

Так. Показникова функція набуває лише додатних значень, тому недодатні корені квадратного рівняння не дають жодного розв'язку вихідного рівняння. Пропущена умова \(t > 0\) призводить або до зайвих «коренів», або до втрати балу за необґрунтованість.

Скільки коренів може мати показникове рівняння?

Рівняння вигляду \(a^{x} = b\) має рівно один корінь при \(b > 0\) і жодного при \(b \leq 0\) — через монотонність функції. Рівняння, що зводяться до квадратних, можуть мати два корені, один або жодного, залежно від того, скільки додатних значень \(t\) дало квадратне рівняння.