Прямокутник, ромб, квадрат: у чому різниця
Три фігури, які восьмикласники плутають найчастіше. Причина не в складності означень, а в тому, що їх вчать окремо — як три незалежні теми. Насправді ж це одна родина: усі троє є паралелограмами, і кожна наступна фігура додає до попередньої рівно одну умову. На заняттях у Tutor-Math ми починаємо саме зі схеми родинних зв'язків — після неї властивості перестають бути набором фактів для зубріння й стають наслідками. Розберімо кожну фігуру окремо, а потім складемо все в одну ієрархію.
Спільна основа: паралелограм
Означення. Паралелограм — це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.
З цього означення випливають властивості, які автоматично успадковують усі три наші фігури:
- протилежні сторони рівні;
- протилежні кути рівні, а сусідні кути дають у сумі \(180^\circ\);
- діагоналі точкою перетину діляться навпіл.
Площа паралелограма — добуток сторони на висоту, проведену до неї: \(S = a \cdot h_a\). Периметр — \(P = 2(a+b)\). Ці формули працюють і для прямокутника, і для ромба, і для квадрата; просто в кожному окремому випадку вони спрощуються до зручнішого вигляду.
Прямокутник
Означення. Прямокутник — це паралелограм, у якого всі кути прямі.
Насправді достатньо вимагати один прямий кут: сусідні кути паралелограма доповнюють один одного до \(180^\circ\), тож із одного прямого кута решта три виходять автоматично.
Головна власна властивість:
Діагоналі прямокутника рівні: \(d_1 = d_2\). І навпаки — якщо в паралелограма діагоналі рівні, то це прямокутник (ознака прямокутника).
Чому так: діагональ розбиває прямокутник на два прямокутні трикутники зі спільними катетами \(a\) і \(b\), а рівні катети дають рівні гіпотенузи. Звідси ж і формула діагоналі — це просто теорема Піфагора:
\[d = \sqrt{a^2 + b^2}.\]Оскільки висота прямокутника збігається з його стороною, площа й периметр мають найпростіший вигляд: \(S = ab\), \(P = 2(a+b)\).
Ромб
Означення. Ромб — це паралелограм, у якого всі сторони рівні.
Тут теж достатньо меншого: якщо у паралелограма рівні дві сусідні сторони, то рівні й усі чотири, бо протилежні й так рівні.
Дві власні властивості ромба — і обидві стосуються діагоналей:
1. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні: \(d_1 \perp d_2\).
2. Кожна діагональ ділить свої кути навпіл.
Обидві доводяться однаково: діагональ відтинає рівнобедрений трикутник (бо сторони ромба рівні), а в рівнобедреному трикутнику медіана до основи є заразом бісектрисою та висотою. Друга діагональ і є цією медіаною — точка перетину ділить її навпіл.
Обернені твердження також правильні: паралелограм із перпендикулярними діагоналями — ромб; паралелограм, у якого діагональ ділить кут навпіл, — ромб. Це ознаки ромба.
Перпендикулярність діагоналей дає ромбу власну формулу площі:
\[S = \frac{d_1 d_2}{2}.\]Пояснення просте: діагоналі ділять ромб на чотири прямокутні трикутники з катетами \(\tfrac{d_1}{2}\) і \(\tfrac{d_2}{2}\). Площа кожного — \(\tfrac{1}{8}d_1d_2\), чотирьох разом — \(\tfrac{1}{2}d_1d_2\). Периметр ромба — \(P = 4a\), а зв'язок сторони з діагоналями знову дає Піфагор: \(a^2 = \left(\tfrac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{d_2}{2}\right)^2\).
Квадрат
Означення. Квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони рівні. Рівнозначно: квадрат — це ромб, у якого всі кути прямі.
Два означення описують ту саму фігуру з різних боків, і це ключ до розуміння всієї теми. Квадрат — одночасно прямокутник і ромб, а тому має всі властивості обох:
- діагоналі рівні (успадковано від прямокутника);
- діагоналі перпендикулярні й ділять кути навпіл, тобто кожна утворює зі стороною кут \(45^\circ\) (успадковано від ромба);
- діагоналі точкою перетину діляться навпіл (успадковано від паралелограма).
Формули: \(S = a^2\), \(P = 4a\). Діагональ квадрата — окремий випадок формули прямокутника при \(a = b\):
\[d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}.\]Множник \(\sqrt2 \approx 1{,}414\) варто запам'ятати — він зустрічається в задачах постійно. Обернено: \(a = \dfrac{d}{\sqrt2} = \dfrac{d\sqrt2}{2}\). Тут стає в пригоді вміння звільнятися від ірраціональності в знаменнику — тема квадратний корінь. А оскільки квадрат є ромбом, для нього працює й формула \(S = \tfrac{d^2}{2}\).
Схема-ієрархія чотирикутників
Це ядро теми. Читати згори вниз: кожен крок додає одну умову й звужує клас фігур.
- Чотирикутник — жодних обмежень, окрім чотирьох сторін.
- ↳ Трапеція — паралельна одна пара сторін. Гілка вбік: трапеція не є паралелограмом. Докладніше — трапеція.
- ↳ Паралелограм — паралельні обидві пари сторін.
- ↳ Прямокутник — паралелограм + прямі кути.
- ↳ Ромб — паралелограм + рівні сторони.
- ↳ Квадрат — лежить на перетині двох попередніх гілок: це водночас прямокутник і ромб.
Правило читання схеми: усе, що правильне для фігури, правильне і для всіх фігур під нею. Тому квадрат — це і прямокутник, і ромб, і паралелограм, і чотирикутник одночасно.
Зворотний напрямок не працює. Прямокутник — не обов'язково квадрат, ромб — не обов'язково квадрат, а прямокутник і ромб між собою не пов'язані взагалі: жоден із них не є окремим випадком іншого. Їхній єдиний спільний перетин — квадрат.
Зведене порівняння властивостей
Для кожної властивості вказано, у яких фігур вона є (паралелограм / прямокутник / ромб / квадрат):
- Протилежні сторони рівні: так — так — так — так.
- Усі сторони рівні: ні — ні — так — так.
- Усі кути прямі: ні — так — ні — так.
- Діагоналі діляться навпіл: так — так — так — так.
- Діагоналі рівні: ні — так — ні — так.
- Діагоналі перпендикулярні: ні — ні — так — так.
- Діагоналі ділять кути навпіл: ні — ні — так — так.
- Площа: \(a h_a\) — \(ab\) — \(\tfrac{d_1d_2}{2}\) — \(a^2\).
- Периметр: \(2(a+b)\) — \(2(a+b)\) — \(4a\) — \(4a\).
Зверніть увагу на два рядки — «діагоналі рівні» та «діагоналі перпендикулярні». Саме вони відрізняють прямокутник від ромба, і саме там «так» стоїть у квадрата двічі.
Приклади
Приклад 1. Сторони прямокутника — \(9\) см і \(12\) см. Знайти діагональ, периметр і площу.
Діагональ за теоремою Піфагора: \(d = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\) см. Периметр: \(P = 2(9+12) = 42\) см. Площа: \(S = 9 \cdot 12 = 108\) см².
Відповідь: \(d = 15\) см, \(P = 42\) см, \(S = 108\) см².
Приклад 2. Діагоналі ромба дорівнюють \(16\) см і \(30\) см. Знайти сторону, периметр і площу.
Діагоналі перпендикулярні й діляться навпіл, тож половини дорівнюють \(8\) см і \(15\) см і є катетами прямокутного трикутника, гіпотенуза якого — сторона ромба: \(a = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64+225} = \sqrt{289} = 17\) см. Тоді \(P = 4 \cdot 17 = 68\) см, а \(S = \dfrac{16 \cdot 30}{2} = 240\) см².
Відповідь: \(a = 17\) см, \(P = 68\) см, \(S = 240\) см².
Приклад 3. Діагональ квадрата дорівнює \(8\) см. Знайти сторону, периметр і площу.
Із формули \(d = a\sqrt2\) маємо \(a = \dfrac{8}{\sqrt2} = \dfrac{8\sqrt2}{2} = 4\sqrt2\) см \(\approx 5{,}66\) см. Периметр: \(P = 4 \cdot 4\sqrt2 = 16\sqrt2 \approx 22{,}63\) см. Площу зручніше рахувати не через сторону, а як для ромба: \(S = \dfrac{d^2}{2} = \dfrac{64}{2} = 32\) см². Перевірка через сторону: \((4\sqrt2)^2 = 16 \cdot 2 = 32\) — збігається.
Відповідь: \(a = 4\sqrt2\) см, \(P = 16\sqrt2\) см, \(S = 32\) см².
Приклад 4. Гострий кут ромба дорівнює \(30^\circ\), сторона — \(10\) см. Знайти площу.
Опустимо висоту з вершини тупого кута на сторону. Утвориться прямокутний трикутник із гіпотенузою \(10\) см і кутом \(30^\circ\). Катет, протилежний куту \(30^\circ\), дорівнює половині гіпотенузи, тобто \(h = 5\) см. Ромб — паралелограм, тому \(S = a \cdot h = 10 \cdot 5 = 50\) см².
Відповідь: \(S = 50\) см².
Приклад 5. Периметр прямокутника — \(46\) см, діагональ — \(17\) см. Знайти площу.
Нехай сторони \(a\) і \(b\). З периметра: \(a + b = 23\). З теореми Піфагора: \(a^2 + b^2 = 289\). Піднесемо першу рівність до квадрата: \((a+b)^2 = 529\), тобто \(a^2 + 2ab + b^2 = 529\). Підставляємо \(a^2+b^2 = 289\): \(289 + 2ab = 529\), звідки \(2ab = 240\) і \(ab = 120\). Але \(S = ab\), тож площа знайдена без обчислення самих сторін.
Перевірка: сторони є коренями рівняння \(x^2 - 23x + 120 = 0\), дискримінант \(529 - 480 = 49\), корені \(x_1 = 15\), \(x_2 = 8\). Справді \(15 + 8 = 23\) і \(15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289\).
Відповідь: \(S = 120\) см².
Приклад 6. Діагоналі паралелограма рівні й перпендикулярні. Що це за фігура?
Розв'язуємо по ознаках. Рівні діагоналі в паралелограма — ознака прямокутника. Перпендикулярні діагоналі в паралелограма — ознака ромба. Фігура є одночасно прямокутником і ромбом, а за схемою ієрархії перетин цих двох класів — квадрат.
Відповідь: квадрат.
Типові помилки
- «Квадрат — це не прямокутник». Найпоширеніша помилка. Квадрат задовольняє означення прямокутника (паралелограм з прямими кутами), тому є прямокутником. І ромбом теж.
- Формулу \(S = \tfrac{d_1d_2}{2}\) застосовують до прямокутника. Вона працює лише тоді, коли діагоналі перпендикулярні, — тобто для ромба й квадрата. Для прямокутника \(5 \times 12\) діагональ дорівнює \(13\), і «площа» \(\tfrac{13\cdot13}{2} = 84{,}5\) замість справжніх \(60\).
- Плутають, у кого діагоналі рівні, а в кого перпендикулярні. Мнемоніка: прямокутник «розтягнутий» — його діагоналі однакової довжини; ромб «перекошений» — його діагоналі різні, зате перетинаються під прямим кутом.
- Забувають ділити діагоналі навпіл. У задачах на ромб катетами прямокутного трикутника є половини діагоналей, а не самі діагоналі.
- Пишуть \(d = a\sqrt2\) для будь-якого прямокутника. Ця формула — лише для квадрата. У загальному випадку \(d = \sqrt{a^2+b^2}\).
- Вважають, що діагональ прямокутника ділить кут навпіл. Це властивість ромба. У прямокутнику \(9 \times 12\) діагональ ділить прямий кут на нерівні частини.
Висновок
Уся тема тримається на одній схемі: паралелограм → прямокутник або ромб → квадрат. Прямокутник додає прямі кути й отримує рівні діагоналі; ромб додає рівні сторони й отримує перпендикулярні діагоналі-бісектриси; квадрат бере обидві умови й тому має обидва набори властивостей. Якщо тримати цю схему в голові, жодну формулу не доведеться зубрити окремо — вона виводиться за пів хвилини.
Якщо після розбору залишилися питання або хочеться відпрацювати задачі на доведення — запишіться на пробне заняття: розберемо тему на ваших прикладах і закриємо прогалини до контрольної.
Чи є квадрат прямокутником?
Так. Квадрат — це паралелограм із прямими кутами, а це і є означення прямокутника. Квадрат є також ромбом, паралелограмом і чотирикутником. Зворотне невірне: не кожен прямокутник є квадратом.
Чим ромб відрізняється від прямокутника?
У ромба рівні всі сторони, але кути не обов'язково прямі; у прямокутника всі кути прямі, але сторони попарно різні. По діагоналях: у ромба вони перпендикулярні й ділять кути навпіл, у прямокутника — рівні. Спільним є лише те, що обидва — паралелограми.
Як знайти площу ромба, якщо відомі лише діагоналі?
За формулою \(S = \tfrac{d_1 d_2}{2}\). Наприклад, для діагоналей \(16\) і \(30\) площа дорівнює \(240\). Сторону при цьому знати не потрібно, але за потреби її дає теорема Піфагора за половинами діагоналей.
Чому діагональ квадрата дорівнює \(a\sqrt2\)?
Діагональ ділить квадрат на два прямокутні трикутники з катетами \(a\) і \(a\). За теоремою Піфагора \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\), звідки \(d = a\sqrt2 \approx 1{,}41a\).
