Синус, косинус і тангенс гострого кута

Синус, косинус і тангенс гострого кута: розв'язування прямокутних трикутників

У восьмому класі геометрія робить крок, який багатьом дається важко: замість «порахувати сторону за теоремою Піфагора» з'являється зв'язок між сторонами й кутами. Три відношення — синус, косинус і тангенс — дозволяють за двома відомими елементами прямокутного трикутника відновити всі решту. На заняттях у Tutor-Math ми відразу закріплюємо, звідки береться кожне з цих відношень, бо саме плутанина «що на що ділити» з'їдає більшість балів на контрольній. Розберімо тему повністю: означення, таблиця значень, основна тотожність і всі три типи задач на розв'язування трикутника.

Означення трьох відношень

Розглядаємо прямокутний трикутник \(ABC\) з прямим кутом \(C\). Сторона \(AB\) — гіпотенуза (позначимо \(c\)), сторони \(BC\) і \(AC\) — катети (\(a\) і \(b\)). Візьмемо гострий кут \(A\). Відносно нього катет \(a = BC\) називають протилежним (лежить навпроти кута), а катет \(b = AC\) — прилеглим (утворює цей кут разом із гіпотенузою).

Означення. Для гострого кута \(\alpha\) прямокутного трикутника:

синус — відношення протилежного катета до гіпотенузи;
косинус — відношення прилеглого катета до гіпотенузи;
тангенс — відношення протилежного катета до прилеглого.

\[\sin\alpha = \frac{a}{c},\qquad \cos\alpha = \frac{b}{c},\qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}.\]

Принципово важливо: ці відношення залежать лише від величини кута, а не від розмірів трикутника. Два прямокутні трикутники з однаковим гострим кутом подібні за двома кутами, а в подібних трикутниках відношення відповідних сторін однакові — це прямий наслідок подібності трикутників. Тому \(\sin 30^\circ\) дорівнює \(0{,}5\) і в трикутнику з гіпотенузою \(2\) см, і в трикутнику з гіпотенузою \(200\) км.

Як не переплутати: робоча мнемоніка

Найчастіша помилка восьмикласника — узяти не той катет. Ось три опори, які це закривають.

• Знаменник задає «косу». У синуса й косинуса знизу завжди гіпотенуза, у тангенса — катет. Якщо в задачі гіпотенуза взагалі не згадана, працює тангенс.
• «Ко» — це «поруч». У слові косинус приставка «ко» нагадує про кут, який катет утворює, тобто про прилеглий катет. Синус — навпаки, «сторона напроти».
• Тангенс — це синус, поділений на косинус. Якщо забули означення тангенса, виведіть його: \(\dfrac{a/c}{b/c} = \dfrac{a}{b}\). Формула \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) працює завжди.

Друга за поширеністю помилка — забути, що «протилежний» і «прилеглий» визначаються відносно конкретного кута. Той самий катет для одного гострого кута протилежний, а для другого — прилеглий. Звідси корисне співвідношення: для двох гострих кутів прямокутного трикутника \(\alpha + \beta = 90^\circ\), і тому \(\sin\alpha = \cos\beta\), \(\cos\alpha = \sin\beta\).

І третє, що варто затямити на рівні рефлексу: катет завжди коротший за гіпотенузу, отже

\[0 < \sin\alpha < 1,\qquad 0 < \cos\alpha < 1.\]

Якщо в розв'язанні вийшов синус \(1{,}4\) — це не «майже правильно», це гарантована арифметична помилка. Тангенс же обмежень зверху не має: він може бути будь-яким додатним числом.

Таблиця значень для 30°, 45° і 60°

Ці три кути потрібно знати напам'ять — вони зустрічаються майже в кожній задачі ДПА.

\[ \begin{array}{c|c|c|c} \alpha & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ \\ \hline \sin\alpha & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] \hline \cos\alpha & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{1}{2} \\[4pt] \hline \operatorname{tg}\alpha & \dfrac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} \end{array} \]

Запам'ятовувати механічно не обов'язково — таблиця має просту логіку. Рядок синуса читається як \(\dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\): під коренем ідуть \(1, 2, 3\). Рядок косинуса — той самий набір у зворотному порядку, бо \(\cos 30^\circ = \sin 60^\circ\). Тангенс отримуємо діленням: \(\operatorname{tg}30^\circ = \dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) після звільнення від ірраціональності в знаменнику (детальніше — у статті про квадратний корінь).

Мікроприклад на застосування: \(\sin 30^\circ\cdot\cos 60^\circ + \operatorname{tg}45^\circ\cdot\sin 60^\circ\cdot\cos 30^\circ = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2} + 1\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4} = 1\).

Основна тригонометрична тотожність

Тотожність. Для будь-якого гострого кута \(\alpha\) виконується \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).

Запис \(\sin^2\alpha\) означає \((\sin\alpha)^2\) — це стандартне скорочення, а не «синус від \(\alpha^2\)».

Доведення вміщується в один рядок і спирається на теорему Піфагора. Підставимо означення:

\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2+b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1,\]

бо за теоремою Піфагора \(a^2+b^2=c^2\). Фактично основна тотожність — це та сама теорема Піфагора, лише поділена на \(c^2\).

Практична цінність: знаючи одну з функцій кута, можна знайти дві інші, не обчислюючи сам кут. З тотожності \(\cos\alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha}\) (корінь беремо додатний, бо для гострого кута косинус додатний), далі \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

Що означає «розв'язати прямокутний трикутник»

Розв'язати трикутник — знайти всі невідомі сторони й кути. Прямий кут уже відомий, тож достатньо двох додаткових елементів, серед яких хоча б одна сторона. Можливі три випадки.

• Дано катет і гіпотенузу. Кут шукаємо через синус або косинус, другий катет — за теоремою Піфагора.
• Дано два катети. Кут шукаємо через тангенс, гіпотенузу — за теоремою Піфагора.
• Дано катет і гострий кут. Другий гострий кут — це \(90^\circ\) мінус даний; сторони виражаємо через синус, косинус або тангенс.

Корисно тримати в голові дві похідні формули, які економлять час: катет дорівнює гіпотенузі, помноженій на синус протилежного кута (\(a = c\sin\alpha\)), і катет дорівнює другому катету, помноженому на тангенс протилежного кута (\(a = b\operatorname{tg}\alpha\)).

Приклади з розв'язанням

Приклад 1. Катети прямокутного трикутника дорівнюють \(6\) і \(8\). Знайти синус, косинус і тангенс обох гострих кутів.

Спершу гіпотенуза: \(c = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\). Нехай \(\alpha\) — кут, протилежний катету \(6\). Тоді протилежний катет дорівнює \(6\), прилеглий \(8\):

\[\sin\alpha = \frac{6}{10} = 0{,}6,\qquad \cos\alpha = \frac{8}{10} = 0{,}8,\qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{6}{8} = 0{,}75.\]

Для другого гострого кута \(\beta\) катети міняються ролями: протилежний \(8\), прилеглий \(6\), тому \(\sin\beta = 0{,}8\), \(\cos\beta = 0{,}6\), \(\operatorname{tg}\beta = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}\). Перевірка тотожністю: \(0{,}6^2+0{,}8^2 = 0{,}36+0{,}64 = 1\).

Відповідь: \(\sin\alpha = 0{,}6\), \(\cos\alpha = 0{,}8\), \(\operatorname{tg}\alpha = 0{,}75\); \(\sin\beta = 0{,}8\), \(\cos\beta = 0{,}6\), \(\operatorname{tg}\beta = \dfrac{4}{3}\).

Приклад 2. Відомо, що \(\sin\alpha = 0{,}6\), кут \(\alpha\) гострий. Знайти \(\cos\alpha\) і \(\operatorname{tg}\alpha\).

Записуємо \(0{,}6 = \dfrac{3}{5}\) і застосовуємо основну тотожність:

\[\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.\]

Оскільки кут гострий, косинус додатний, тож \(\cos\alpha = \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\). Тангенс: \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\).

Відповідь: \(\cos\alpha = 0{,}8\), \(\operatorname{tg}\alpha = 0{,}75\).

Приклад 3 (катет і гіпотенуза). Гіпотенуза дорівнює \(10\) см, один із катетів — \(5\) см. Розв'язати трикутник.

Катет \(a = 5\) протилежний куту \(\alpha\), гіпотенуза \(c = 10\), отже \(\sin\alpha = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\). За таблицею це кут \(\alpha = 30^\circ\). Другий гострий кут: \(\beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).

Другий катет знаходимо двома способами — вони мають збігтися. За теоремою Піфагора: \(b = \sqrt{10^2-5^2} = \sqrt{100-25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\). Через косинус: \(b = c\cos\alpha = 10\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\). Обидва шляхи дали \(5\sqrt{3}\approx 8{,}66\) см.

Відповідь: \(\alpha = 30^\circ\), \(\beta = 60^\circ\), другий катет \(5\sqrt{3}\approx 8{,}66\) см.

Приклад 4 (два катети). Катети дорівнюють \(7\) см і \(7\sqrt{3}\) см. Розв'язати трикутник.

Гіпотенуза не дана — працюємо через тангенс. Нехай \(\alpha\) протилежний меншому катету:

\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{7}{7\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.\]

За таблицею \(\alpha = 30^\circ\), тоді \(\beta = 60^\circ\). Гіпотенуза: \(c = \sqrt{7^2+\left(7\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{49+147} = \sqrt{196} = 14\) см. Перевірка: \(\sin 30^\circ\) має дорівнювати \(\dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2}\) — збігається.

Відповідь: \(\alpha = 30^\circ\), \(\beta = 60^\circ\), гіпотенуза \(14\) см.

Приклад 5 (катет і гострий кут). У прямокутному трикутнику катет дорівнює \(6\) см, а протилежний йому гострий кут — \(60^\circ\). Знайти гіпотенузу й другий катет.

З означення синуса \(\sin 60^\circ = \dfrac{6}{c}\), звідси

\[c = \frac{6}{\sin 60^\circ} = \frac{6}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\approx 6{,}93\ \text{см}.\]

Другий катет — через тангенс: \(\operatorname{tg}60^\circ = \dfrac{6}{b}\), тому \(b = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\approx 3{,}46\) см. Контроль за Піфагором: \(6^2+\left(2\sqrt{3}\right)^2 = 36+12 = 48\), і \(\left(4\sqrt{3}\right)^2 = 16\cdot 3 = 48\) — рівність виконується.

Відповідь: гіпотенуза \(4\sqrt{3}\approx 6{,}93\) см, другий катет \(2\sqrt{3}\approx 3{,}46\) см.

Приклад 6 (практична задача). Учень стоїть за \(12\) м від дерева й бачить його вершину під кутом \(60^\circ\) до горизонту. Очі спостерігача на висоті \(1{,}7\) м. Яка висота дерева?

Будуємо прямокутний трикутник: горизонтальний катет — відстань до дерева \(12\) м, вертикальний катет \(h\) — частина дерева вище рівня очей, кут між гіпотенузою (променем зору) і горизонталлю дорівнює \(60^\circ\). Вертикальний катет протилежний цьому куту, горизонтальний прилеглий, отже працює тангенс:

\[h = 12\cdot\operatorname{tg}60^\circ = 12\sqrt{3}\approx 20{,}78\ \text{м}.\]

Це ще не відповідь: до знайденої величини треба додати висоту очей, бо трикутник «починається» на рівні \(1{,}7\) м, а не від землі. Повна висота: \(20{,}78 + 1{,}7 = 22{,}48\) м.

Відповідь: близько \(22{,}5\) м.

Важливо: це тригонометрія лише прямокутного трикутника

Усе, що описано вище, працює тільки для прямокутного трикутника. Означення синуса як «протилежний катет поділити на гіпотенузу» просто не має змісту там, де немає ні катетів, ні гіпотенузи. Це типове джерело помилок: учень бачить у задачі кут \(30^\circ\) у довільному трикутнику й механічно пише \(\sin 30^\circ = \dfrac{a}{c}\).

Для довільного трикутника працюють інші інструменти, і їх вивчають у дев'ятому класі: теорема синусів пов'язує сторони з синусами протилежних кутів, а теорема косинусів узагальнює теорему Піфагора на випадок непрямого кута. Обидві спираються на ті самі синус і косинус, але формулюються зовсім інакше. Восьмикласнику достатньо запам'ятати межу: немає прямого кута — означення через катети не застосовуємо. Обидві теореми, до речі, входять до переліку ключових теорем геометрії для ДПА та ЗНО.

Типові помилки

• Переплутані катети. Найпоширеніше: узяти прилеглий катет замість протилежного. Перед обчисленням завжди підписуйте на рисунку, який катет протилежний саме тому куту, який шукаєте.
• Гіпотенуза в знаменнику тангенса. У тангенсі гіпотенуза не бере участі взагалі: \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{a}{b}\), обидві сторони — катети.
• Синус більший за одиницю. Результат \(\sin\alpha = 1{,}25\) означає, що катет вийшов довшим за гіпотенузу, — перевіряйте, чи не переплутані сторони.
• Плутанина \(\sin 30^\circ\) і \(\cos 30^\circ\). \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\), а \(\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Перевіряйте логікою: більший кут — більший синус, отже \(\sin 60^\circ > \sin 30^\circ\).
• Запис \(\sin^2\alpha\) як \(\sin(\alpha^2)\). Показник \(2\) стосується значення синуса, а не кута.
• Втрачена висота очей у практичних задачах. Тангенс дає лише вертикальний катет — частину висоти над рівнем спостереження. Якщо кут вимірювали з висоти зросту, її треба додати.
• Застосування означень до непрямокутного трикутника. Без прямого кута потрібні теореми синусів і косинусів, а не відношення катетів.

Висновок

Тема тримається на трьох означеннях, одній таблиці й одній тотожності. Синус і косинус ділять катет на гіпотенузу (протилежний і прилеглий відповідно), тангенс ділить катет на катет. Значення для \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) варто знати напам'ять, а \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) — це переодягнена теорема Піфагора. Далі все зводиться до трьох сценаріїв розв'язування трикутника, і кожен розв'язок можна проконтролювати Піфагором.

Якщо дитина «знає формули, але не бачить, яку взяти», проблема майже завжди в рисунку, а не в пам'яті. Запишіться на пробне заняття в Tutor-Math: викладач за одну зустріч поставить навичку правильно розмічати трикутник — і задачі цього розділу перестануть бути лотереєю.

Часті питання

Чому синус кута не залежить від розмірів трикутника?

Бо два прямокутні трикутники з однаковим гострим кутом подібні за двома кутами, а в подібних трикутниках відношення відповідних сторін рівні. Збільшивши трикутник удвічі, ми подвоюємо і катет, і гіпотенузу, а їхнє відношення не змінюється. Саме тому синус, косинус і тангенс — характеристики кута, а не фігури.

Чи може синус гострого кута дорівнювати \(1{,}5\)?

Ні. Синус — це відношення катета до гіпотенузи, а катет у прямокутному трикутнику завжди коротший за гіпотенузу. Тому \(0 < \sin\alpha < 1\) і \(0 < \cos\alpha < 1\) для будь-якого гострого кута. Значення більше за одиницю — це сигнал про помилку в обчисленнях. Тангенс же може бути будь-яким додатним числом: наприклад, \(\operatorname{tg}60^\circ = \sqrt{3}\approx 1{,}73\).

Скільки елементів треба знати, щоб розв'язати прямокутний трикутник?

Два, крім прямого кута, і хоча б один із них має бути стороною. Двох кутів недостатньо: за ними трикутник визначається лише з точністю до подібності, тобто розміри лишаються невідомими. Робочі комбінації: катет і гіпотенуза, два катети, катет і гострий кут, гіпотенуза й гострий кут.

Чим тригонометрія 8 класу відрізняється від теорем синусів і косинусів?

У восьмому класі синус, косинус і тангенс означені через сторони прямокутного трикутника — це відношення катетів і гіпотенузи. Теорема синусів і теорема косинусів (дев'ятий клас) працюють у довільному трикутнику й пов'язують сторони з кутами інакше. Означення через катети до довільного трикутника не застосовують — там просто немає гіпотенузи.