Розкладання многочленів на множники: усі способи з прикладами
Розкладання на множники — це той навик сьомого класу, який далі працює всюди: у скороченні дробів, у розв'язуванні рівнянь, у побудові графіків. Способів усього чотири, і кожен має чіткий признак, за яким його впізнають. На заняттях у Tutor-Math ми відпрацьовуємо саме розпізнавання: учень має за п'ять секунд бачити, з чого починати. Розберімо всі способи по черзі, з алгоритмами і прикладами, порахованими до кінця.
Що означає «розкласти на множники»
Розкласти многочлен на множники — означає подати його у вигляді добутку кількох многочленів меншого степеня. Була сума — стала множина. Наприклад, \(x^2-9\) — це різниця, два доданки; після розкладання \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) — це добуток двох дужок.
Означення. Розкладанням многочлена на множники називають його тотожне перетворення у добуток двох або більше многочленів. Тотожне означає, що рівність виконується при будь-якому значенні змінної.
Слово «тотожне» тут головне, і воно ж дає безкоштовну перевірку: розкрийте дужки назад і порівняйте з початковим виразом. Якщо збіглося — розкладання правильне. Якщо ні — помилка, і шукати її треба одразу, а не на етапі відповіді.
Навіщо це потрібно
Дві головні причини, обидві — з реальних задач контрольних.
Скорочення дробів. Дріб \(\dfrac{x^2-9}{x^2-6x+9}\) скоротити «як є» неможливо: скорочують лише множники, а не доданки. Але після розкладання чисельника й знаменника виходить \(\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2}=\dfrac{x+3}{x-3}\). Це та сама логіка, що й у скороченні числових дробів через НСД і НСК, тільки замість простих чисел — многочлени.
Розв'язування рівнянь. Рівняння \(x^3+x^2-4x-4=0\) не має готової формули. Але якщо ліву частину розкласти на множники, вона перетвориться на \((x+1)(x-2)(x+2)=0\), а добуток дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли один із множників нульовий. Три прості рівняння замість одного складного. Саме на цьому тримаються квадратні рівняння, коли їх розв'язують без дискримінанта.
Спосіб 1. Винесення спільного множника за дужки
Це завжди перший крок. Основа — розподільна властивість, записана справа наліво: \(ab+ac=a(b+c)\).
Алгоритм:
- Знайти НСД числових коефіцієнтів усіх доданків.
- Взяти кожну спільну змінну з найменшим показником, який зустрічається в доданках.
- Записати добуток знайдених частин перед дужкою, а в дужках — те, що лишилося від кожного доданка.
Приклад. \(12a^3b-18a^2b^2+6a^2b\). НСД чисел 12, 18 і 6 дорівнює 6. Змінна \(a\) є всюди, найменший показник — другий, отже \(a^2\). Змінна \(b\) є всюди, найменший показник — перший. Спільний множник: \(6a^2b\). Ділимо кожен доданок на нього і отримуємо \(6a^2b(2a-3b+1)\).
Перевірка розкриттям: \(6a^2b\cdot 2a=12a^3b\), \(6a^2b\cdot(-3b)=-18a^2b^2\), \(6a^2b\cdot 1=6a^2b\). Збіглося. Щоб упевнено ділити степені, потрібні властивості степеня з натуральним показником — без них цей крок перетворюється на вгадування.
Спільним множником може бути й ціла дужка: у виразі \(5x(x-2)-3(x-2)\) спільне — це \((x-2)\), тому \(5x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(5x-3)\).
Спосіб 2. Групування
Застосовують, коли доданків чотири (рідше шість) і спільного множника у всіх немає, але він з'являється в парах.
Алгоритм: розбити доданки на дві групи по два; винести спільний множник у кожній групі; переконатися, що в дужках вийшло однакове; винести цю спільну дужку.
Приклад. \(x^3-3x^2+5x-15\). Групуємо: \((x^3-3x^2)+(5x-15)\). З першої групи виносимо \(x^2\), з другої — 5: \(x^2(x-3)+5(x-3)\). Дужки однакові, виносимо \((x-3)\): відповідь \((x-3)(x^2+5)\).
Головна пастка — знак. Якщо перед другою групою стоїть мінус, він міняє знаки всередині дужок: \(2a^3+a^2-6a-3=(2a^3+a^2)-(6a+3)=a^2(2a+1)-3(2a+1)=(2a+1)(a^2-3)\). Зверніть увагу, що \(-6a-3\) ми записали як \(-(6a+3)\), а не як \(-(6a-3)\).
Якщо дужки після першої спроби не збіглися — переставте доданки і згрупуйте інакше. Так, \(ab-3a+2b-6\) групується як \(a(b-3)+2(b-3)=(a+2)(b-3)\).
Спосіб 3. Формули скороченого множення
Найшвидший спосіб, якщо вираз має впізнавану форму. Робочий мінімум:
\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\] \[a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2\] \[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\] \[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]
Різниця квадратів. \(25x^2-49y^2\). Бачимо \((5x)^2-(7y)^2\), отже \(25x^2-49y^2=(5x-7y)(5x+7y)\).
Квадрат двочлена. \(x^2-12x+36\). Крайні доданки — квадрати: \(x^2\) і \(6^2\). Перевіряємо середній: \(2\cdot x\cdot 6=12x\), і він зі знаком мінус. Отже \(x^2-12x+36=(x-6)^2\).
Сума кубів. \(8a^3+27=(2a)^3+3^3=(2a+3)(4a^2-6a+9)\). Розкриття назад: \(8a^3-12a^2+18a+12a^2-18a+27=8a^3+27\). Сходиться.
Важливо: суму квадратів \(a^2+b^2\) на множники не розкладають — такої формули немає. Повний перелік із виведеннями — у матеріалі про формули скороченого множення.
Спосіб 4. Розкладання квадратного тричлена через корені
Універсальний спосіб для виразів вигляду \(ax^2+bx+c\), коли формули не впізнаються.
Правило. Якщо \(x_1\) і \(x_2\) — корені квадратного тричлена, то \[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).\]
Алгоритм: обчислити дискримінант \(D=b^2-4ac\); якщо \(D\ge 0\) — знайти корені за формулою \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\); підставити їх у правило, не забувши коефіцієнт \(a\) попереду. Якщо \(D<0\), розкласти на множники з раціональними коефіцієнтами неможливо.
Приклад. \(2x^2-7x+3\). Тут \(D=49-24=25\), \(\sqrt{D}=5\), корені \(x_1=\dfrac{7+5}{4}=3\) і \(x_2=\dfrac{7-5}{4}=\dfrac{1}{2}\). Тоді \(2x^2-7x+3=2(x-3)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\). Двійку зручно «завести» у другу дужку: \(2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)=2x-1\), отже остаточно \((x-3)(2x-1)\).
Перевірка: \((x-3)(2x-1)=2x^2-x-6x+3=2x^2-7x+3\). Правильно.
Спосіб 5. Комбінація кількох способів
У більшості задач одного способу мало. Порядок незмінний: спочатку виносимо спільний множник, потім працюємо з тим, що лишилося в дужках.
Приклад. \(3x^3-27x\). Виносимо \(3x\): \(3x(x^2-9)\). У дужках — різниця квадратів, розкладаємо далі: \(3x(x-3)(x+3)\). Зупинитися на \(3x(x^2-9)\) — типова втрата балів: розкладання неповне.
Як обрати спосіб: алгоритм
Послідовність, яку варто вивчити напам'ять і застосовувати механічно:
- Крок 1. Завжди шукайте спільний множник. Байдуже, скільки доданків. Якщо він є — виносьте одразу, вираз у дужках стане простішим.
- Крок 2. Порахуйте доданки в дужках. Два доданки — перевіряйте різницю квадратів, суму або різницю кубів. Три доданки — перевіряйте квадрат двочлена, а якщо не підходить, це квадратний тричлен, працюйте через дискримінант. Чотири доданки — групування.
- Крок 3. Перевірте кожен отриманий множник. Чи можна розкласти його далі? Якщо так — повертайтеся до кроку 1 уже для цієї дужки.
- Крок 4. Розкрийте дужки назад і порівняйте з початковим виразом.
Приклад 1. Винесення спільного множника
Розкласти \(5a^2b-10ab+5b\).
НСД коефіцієнтів 5, 10 і 5 дорівнює 5. Змінна \(b\) є в усіх трьох доданках у першому степені; змінної \(a\) в останньому доданку немає, тому вона не виноситься. Спільний множник — \(5b\): отримуємо \(5b(a^2-2a+1)\). У дужках — квадрат двочлена: \(a^2-2a+1=(a-1)^2\).
Перевірка: \(5b(a^2-2a+1)=5a^2b-10ab+5b\). Збіглося.
Відповідь: \(5b(a-1)^2\).
Приклад 2. Групування зі зміною знака
Розкласти \(2a^3+a^2-6a-3\).
Спільного множника у всіх чотирьох доданків немає. Групуємо: \((2a^3+a^2)-(6a+3)\). Уважно: виносячи мінус, ми змінили знак у \(-3\) на \(+3\) всередині дужки. Далі \(a^2(2a+1)-3(2a+1)=(2a+1)(a^2-3)\).
Перевірка: \(2a^3-6a+a^2-3=2a^3+a^2-6a-3\). Правильно.
Відповідь: \((2a+1)(a^2-3)\).
Приклад 3. Різниця кубів
Розкласти \(27m^3-64\).
Обидва доданки — куби: \(27m^3=(3m)^3\), \(64=4^3\). За формулою різниці кубів \(27m^3-64=(3m-4)(9m^2+12m+16)\). Другу дужку далі не розкладають: її дискримінант \(D=144-576=-432\) від'ємний.
Відповідь: \((3m-4)(9m^2+12m+16)\).
Приклад 4. Квадратний тричлен через дискримінант
Розкласти \(6x^2-x-2\).
Тут \(a=6\), \(b=-1\), \(c=-2\). Дискримінант: \(D=1+48=49\), \(\sqrt{D}=7\). Корені: \(x_1=\dfrac{1+7}{12}=\dfrac{2}{3}\), \(x_2=\dfrac{1-7}{12}=-\dfrac{1}{2}\).
За правилом: \(6x^2-x-2=6\left(x-\dfrac{2}{3}\right)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\). Розподіляємо шістку як \(3\cdot 2\): \(3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)=3x-2\) і \(2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=2x+1\).
Перевірка: \((3x-2)(2x+1)=6x^2+3x-4x-2=6x^2-x-2\). Збіглося.
Відповідь: \((3x-2)(2x+1)\).
Приклад 5. Два способи поспіль: групування та формула
Розкласти \(x^3+x^2-4x-4\).
Крок 1 — спільного множника немає. Крок 2 — чотири доданки, отже групування: \((x^3+x^2)-(4x+4)=x^2(x+1)-4(x+1)=(x+1)(x^2-4)\).
Крок 3 — перевіряємо кожен множник. Друга дужка — різниця квадратів, розкладається далі: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\).
Перевірка: \((x+1)(x-2)(x+2)=(x+1)(x^2-4)=x^3-4x+x^2-4\). Збіглося.
Відповідь: \((x+1)(x-2)(x+2)\).
Приклад 6. Винесення множника, а потім двічі формула
Розкласти \(2x^4-32\).
Крок 1: виносимо 2, отримуємо \(2(x^4-16)\). Крок 2: у дужках різниця квадратів, бо \(x^4=(x^2)^2\) і \(16=4^2\): \(2(x^2-4)(x^2+4)\). Крок 3: перша дужка — знову різниця квадратів, друга — сума квадратів, яка не розкладається. Остаточно: \(2(x-2)(x+2)(x^2+4)\).
Перевірка: \((x-2)(x+2)=x^2-4\), далі \((x^2-4)(x^2+4)=x^4-16\), і \(2(x^4-16)=2x^4-32\). Правильно.
Відповідь: \(2(x-2)(x+2)(x^2+4)\).
Типові помилки
- Втрата спільного множника. У виразі \(5a^2b-10ab+5b\) учень виносить \(5b\) і забуває, що з останнього доданка лишається одиниця: пише \(5b(a^2-2a)\). Правило просте — доданків у дужках рівно стільки ж, скільки було до винесення.
- Помилка знаку при групуванні. \(x^3-3x^2-5x+15\) групують як \((x^3-3x^2)-(5x+15)\), хоча має бути \(-(5x-15)\). Після винесення мінуса знаки всередині дужок міняються на протилежні — перевіряйте розкриттям одразу.
- Неповне розкладання. Зупинилися на \(3x(x^2-9)\) замість \(3x(x-3)(x+3)\). Задачу зараховують лише тоді, коли жоден множник далі не розкладається.
- Виносять змінну з найбільшим показником. З \(a^3+a^2\) виносять \(a^3\) і отримують дробові степені. Виносять найменший показник: \(a^2(a+1)\).
- Намагаються розкласти суму квадратів. \(a^2+b^2\) не розкладається на множники з дійсними коефіцієнтами. Плутанина з різницею квадратів — класика.
- Забувають коефіцієнт \(a\) у формулі \(a(x-x_1)(x-x_2)\). Для \(2x^2-7x+3\) пишуть \((x-3)(x-\frac{1}{2})\), що дорівнює \(x^2-3{,}5x+1{,}5\) — рівно вдвічі менше за початковий вираз.
- Скорочують доданки замість множників. У дробі \(\dfrac{x^2-9}{x^2-6x+9}\) «скорочують» дев'ятки. Скорочувати можна лише після повного розкладання і лише спільні множники.
Висновок
Розкладання на множники — це не чотири незв'язані прийоми, а одна послідовність. Спочатку спільний множник — завжди. Далі рахуємо доданки: два — формули, три — квадрат двочлена або дискримінант, чотири — групування. Наприкінці перевіряємо кожну дужку на можливість розкласти далі й розкриваємо все назад. Той, хто виконує ці чотири кроки механічно, помиляється рідко.
Проблема зазвичай не в незнанні формул, а в тому, що учень не бачить, який спосіб застосувати. Це знімається розбором двадцяти-тридцяти прикладів із поясненням вибору на кожному кроці. На індивідуальних заняттях у Tutor-Math викладач одразу бачить, де саме ламається логіка — у виборі способу, у знаках чи в арифметиці, — і закриває прогалину точково. Почати можна з пробного заняття: за нього викладач визначить реальний рівень і покаже, які теми потребують уваги першими.
З якого способу починати розкладання?
Завжди з винесення спільного множника за дужки, незалежно від кількості доданків. Це спрощує вираз і часто відкриває формулу, яку до цього не було видно. Тільки після цього кроку дивляться на кількість доданків у дужках і обирають наступний спосіб.
Як зрозуміти, що розкладання завершене?
Коли жоден множник далі не розкладається: числові коефіцієнти не мають спільного дільника, дужки не є різницею квадратів чи кубів, а квадратні тричлени мають від'ємний дискримінант. Останній крок — розкрити всі дужки назад і порівняти з початковим виразом.
Чи можна розкласти будь-який квадратний тричлен?
Ні. Якщо дискримінант \(D=b^2-4ac\) від'ємний, тричлен не розкладається на множники з дійсними коефіцієнтами. Наприклад, \(x^2+x+1\) має \(D=1-4=-3\), тому залишається нерозкладним. При \(D=0\) корінь один, і тричлен є повним квадратом.
Навіщо розкладання на множники в старших класах?
Це базовий інструмент для розв'язування рівнянь вищих степенів методом «добуток дорівнює нулю», для скорочення алгебраїчних дробів, для знаходження області визначення функцій і для обчислення границь у курсі математичного аналізу. Без нього десятий і одинадцятий класи стають набагато важчими.
