Основна тригонометрична тотожність та наслідки
У 10 класі тригонометрія перестає бути «таблицею значень для трикутника» і стає алгеброю. Ключ до цієї алгебри — одна коротка рівність, з якої виводиться майже все інше: основна тригонометрична тотожність. Вона зв'язує синус і косинус одного й того самого кута, дозволяє знайти всі функції за однією відомою і робить можливим спрощення громіздких виразів. На заняттях у Tutor-Math ми окремо відпрацьовуємо не саму формулу — її вивчають за хвилину — а вибір знака при добуванні кореня. Саме там втрачають бали 9 із 10 учнів.
Формулювання тотожності
Основна тригонометрична тотожність. Для будь-якого кута \(\alpha\) виконується рівність\[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \]
Запис \(\sin^2\alpha\) означає \((\sin\alpha)^2\), а не синус від квадрата. Це домовленість про скорочення, і плутати її не можна: \(\sin^2\alpha \ne \sin(\alpha^2)\).
Слово «тотожність» тут принципове. Це не рівняння, яке виконується для якихось окремих кутів, — воно правильне для кожного \(\alpha\): для \(30^\circ\), для \(-17{,}4^\circ\), для \(1000^\circ\). Тому підставляти його можна будь-де й без застережень.
Доведення через одиничне коло
Візьмемо коло радіуса \(1\) із центром у початку координат — одиничне коло. Повернемо точку \(P(1;0)\) навколо центра на кут \(\alpha\). Вона перейде в точку \(P_\alpha\), і за означенням тригонометричних функцій її координати — це якраз косинус і синус:
\[ P_\alpha(\cos\alpha;\ \sin\alpha) \]Точка \(P_\alpha\) лежить на колі радіуса \(1\), а рівняння такого кола — \(x^2 + y^2 = 1\). Підставляємо координати:
\[ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \]Доведення закінчено. По суті це теорема Піфагора для прямокутного трикутника з гіпотенузою \(1\): катети дорівнюють \(|\cos\alpha|\) і \(|\sin\alpha|\). Тому тотожність іноді називають «тригонометричною теоремою Піфагора».
Із цього ж малюнка одразу випливає наслідок про межі значень: жодна координата точки одиничного кола не виходить за проміжок від \(-1\) до \(1\), отже
\[ -1 \le \sin\alpha \le 1, \qquad -1 \le \cos\alpha \le 1 \]Тому умова «\(\sin\alpha = 1{,}2\)» — це не складна задача, а задача без розв'язків.
Наслідок 1: вираження однієї функції через іншу
З тотожності легко виразити квадрат кожної функції:
\[ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha, \qquad \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha \]А ось далі починається головна пастка теми. Добуваючи квадратний корінь, отримуємо два варіанти:
\[ \cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}, \qquad \sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha} \]Правило вибору знака. Знак перед коренем визначає чверть, у якій лежить кут, а не формула. Формула дає лише модуль.
Запам'ятати знаки простіше через координати: синус — це ордината (вісь \(Oy\)), косинус — абсциса (вісь \(Ox\)).
- I чверть (\(0 < \alpha < 90^\circ\)): \(\sin\alpha > 0\), \(\cos\alpha > 0\).
- II чверть (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)): \(\sin\alpha > 0\), \(\cos\alpha < 0\).
- III чверть (\(180^\circ < \alpha < 270^\circ\)): \(\sin\alpha < 0\), \(\cos\alpha < 0\).
- IV чверть (\(270^\circ < \alpha < 360^\circ\)): \(\sin\alpha < 0\), \(\cos\alpha > 0\).
Тангенс і котангенс додатні там, де синус і косинус мають однакові знаки, тобто в I та III чвертях, і від'ємні в II та IV.
Наслідок 2: тотожності з тангенсом і котангенсом
Нагадаємо означення: \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) при \(\cos\alpha \ne 0\) і \(\operatorname{ctg}\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) при \(\sin\alpha \ne 0\). Поділимо основну тотожність почленно на \(\cos^2\alpha\):
\[ \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha} \]\[ 1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}, \qquad \cos\alpha \ne 0 \]
Аналогічно, поділивши на \(\sin^2\alpha\), дістаємо котангенсний варіант:
\[ 1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}, \qquad \sin\alpha \ne 0 \]
І ще одна рівність, яка випливає прямо з означень — тангенс і котангенс є взаємно оберненими числами:
\[ \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 1 \]Вона працює лише тоді, коли обидві функції існують, тобто \(\sin\alpha \ne 0\) і \(\cos\alpha \ne 0\) одночасно. Для кута \(90^\circ\) тангенса немає, і рівність втрачає сенс.
Приклад 1. Знайти всі функції за синусом і чвертю
Умова. Відомо, що \(\sin\alpha = \dfrac{8}{17}\), причому \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). Знайти \(\cos\alpha\), \(\operatorname{tg}\alpha\), \(\operatorname{ctg}\alpha\).
Крок 1. З основної тотожності знаходимо квадрат косинуса:
\[ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289} \]Крок 2. Добуваємо корінь — і саме тут визначаємо знак. Кут лежить у II чверті, а там косинус від'ємний:
\[ \cos\alpha = -\sqrt{\frac{225}{289}} = -\frac{15}{17} \]Крок 3. Тангенс і котангенс за означенням:
\[ \operatorname{tg}\alpha = \frac{8/17}{-15/17} = -\frac{8}{15}, \qquad \operatorname{ctg}\alpha = -\frac{15}{8} \]Перевірка. \(\left(\frac{8}{17}\right)^2 + \left(-\frac{15}{17}\right)^2 = \frac{64 + 225}{289} = 1\). Знаки узгоджені: у II чверті тангенс і котангенс мають бути від'ємними — так і вийшло.
Відповідь: \(\cos\alpha = -\dfrac{15}{17}\), \(\operatorname{tg}\alpha = -\dfrac{8}{15}\), \(\operatorname{ctg}\alpha = -\dfrac{15}{8}\).
Приклад 2. Знайти синус і косинус за тангенсом
Умова. \(\operatorname{tg}\alpha = -\dfrac{5}{12}\), кут \(\alpha\) лежить у IV чверті. Знайти \(\sin\alpha\) і \(\cos\alpha\).
Крок 1. Використовуємо тотожність із тангенсом:
\[ \frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \operatorname{tg}^2\alpha = 1 + \frac{25}{144} = \frac{169}{144} \quad\Longrightarrow\quad \cos^2\alpha = \frac{144}{169} \]Крок 2. У IV чверті косинус додатний, тому
\[ \cos\alpha = \frac{12}{13} \]Крок 3. Синус знаходимо з означення тангенса: \(\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha\).
\[ \sin\alpha = -\frac{5}{12} \cdot \frac{12}{13} = -\frac{5}{13} \]Перевірка. \(\frac{25}{169} + \frac{144}{169} = 1\), і \(\frac{-5/13}{12/13} = -\frac{5}{12}\) — тангенс збігається з умовою. У IV чверті синус справді від'ємний.
Відповідь: \(\sin\alpha = -\dfrac{5}{13}\), \(\cos\alpha = \dfrac{12}{13}\).
Приклад 3. Спрощення виразу з різницею четвертих степенів
Умова. Спростити \(\sin^4\alpha - \cos^4\alpha + \cos^2\alpha\).
Перші два доданки — різниця квадратів для \(\sin^2\alpha\) і \(\cos^2\alpha\):
\[ \sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) \]Друга дужка дорівнює \(1\), тож увесь вираз перетворюється на
\[ \sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha \]Перевірка при \(\alpha = 30^\circ\): \(\left(\frac12\right)^4 - \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^4 + \frac34 = \frac{1}{16} - \frac{9}{16} + \frac{12}{16} = \frac{4}{16} = \frac14 = \sin^2 30^\circ\).
Відповідь: \(\sin^2\alpha\).
Приклад 4. Спрощення з котангенсом
Умова. Спростити \(\sin^2\alpha + \sin^2\alpha \cdot \operatorname{ctg}^2\alpha\), де \(\sin\alpha \ne 0\).
Виносимо спільний множник за дужки й застосовуємо котангенсну тотожність:
\[ \sin^2\alpha\,(1 + \operatorname{ctg}^2\alpha) = \sin^2\alpha \cdot \frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 \]Перевірка при \(\alpha = 60^\circ\): \(\operatorname{ctg} 60^\circ = \frac{1}{\sqrt3}\), тому вираз дорівнює \(\frac34 + \frac34\cdot\frac13 = \frac34 + \frac14 = 1\).
Відповідь: \(1\).
Приклад 5. Обчислення дробу за відомим тангенсом
Умова. Відомо, що \(\operatorname{tg}\alpha = 2\). Обчислити \(\dfrac{3\sin\alpha - 2\cos\alpha}{\sin\alpha + 4\cos\alpha}\).
Оскільки \(\operatorname{tg}\alpha\) існує, то \(\cos\alpha \ne 0\). Поділимо чисельник і знаменник на \(\cos\alpha\) — дріб від цього не зміниться:
\[ \frac{3\operatorname{tg}\alpha - 2}{\operatorname{tg}\alpha + 4} = \frac{3\cdot 2 - 2}{2 + 4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]Перевірка. При \(\operatorname{tg}\alpha = 2\) можна взяти \(\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt5}\), \(\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt5}\). Тоді чисельник дорівнює \(\frac{6-2}{\sqrt5} = \frac{4}{\sqrt5}\), знаменник \(\frac{2+4}{\sqrt5} = \frac{6}{\sqrt5}\), а їхнє відношення \(\frac46 = \frac23\).
Відповідь: \(\dfrac{2}{3}\).
Приклад 6. Добуток синуса й косинуса за їхньою сумою
Умова. Відомо, що \(\sin\alpha + \cos\alpha = 1{,}4\). Знайти \(\sin\alpha \cdot \cos\alpha\).
Підносимо обидві частини до квадрата:
\[ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha \]Отже, \(1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1{,}96\), звідки
\[ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1{,}96 - 1}{2} = \frac{0{,}96}{2} = 0{,}48 \]Перевірка. Якщо сума дорівнює \(1{,}4\), а добуток \(0{,}48\), то \(\sin\alpha\) і \(\cos\alpha\) — корені рівняння \(t^2 - 1{,}4t + 0{,}48 = 0\). Дискримінант \(1{,}96 - 1{,}92 = 0{,}04\), корені \(t_1 = 0{,}8\) і \(t_2 = 0{,}6\). Справді, \(0{,}8^2 + 0{,}6^2 = 1\) — умова несуперечлива.
Відповідь: \(0{,}48\).
Типові помилки
- Знак ставлять «за формулою», а не за чвертю. Найпоширеніша помилка теми: учень пише \(\cos\alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha}\) із плюсом автоматично. Корінь завжди невід'ємний, тому знак треба поставити вручну, подивившись на чверть.
- Ігнорують умову про чверть. Якщо в задачі написано «\(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\)», це не декорація — це єдине джерело інформації про знаки. Без неї відповідей було б дві.
- Плутають \(\sin^2\alpha\) і \(\sin\alpha^2\). Перше — квадрат синуса, друге — синус квадрата кута. Це різні числа.
- Пишуть \(\sin\alpha + \cos\alpha = 1\). У квадраті — так, без квадратів — ні. Перевірте на \(\alpha = 30^\circ\): \(0{,}5 + 0{,}866 \approx 1{,}366\).
- Забувають про область визначення. Тотожність \(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}\) не діє при \(\cos\alpha = 0\), а \(\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1\) — при \(\alpha = 90^\circ k\). У тригонометричних рівняннях це джерело сторонніх коренів.
- Приймають неможливі умови. Якщо в задачі \(\cos\alpha = -1{,}5\) або \(\sin\alpha + \cos\alpha = 2\), розв'язків немає: перше суперечить межам, друге — оцінці \(|\sin\alpha+\cos\alpha| \le \sqrt2\).
Висновок
Основна тригонометрична тотожність — це три символи, з яких виростає весь апарат перетворень: вираження функцій одна через одну, формули з тангенсом і котангенсом, спрощення виразів, підготовка рівнянь до розв'язання. Технічна частина проста, і за годину практики вона доводиться до автоматизму. Складне тут лише одне — дисципліна зі знаками: спершу чверть, потім корінь, ніколи навпаки.
Якщо дитина знає формулу, але стабільно втрачає бали на знаках або «зависає» на спрощеннях, прогалина вузька й закривається за кілька занять. Запишіться на пробне заняття в Tutor-Math: викладач перевірить базу з одиничного кола й відпрацює саме той крок, де ламається розв'язок.
Часті питання
Чому в основній тотожності стоїть саме одиниця?
Бо синус і косинус — це координати точки на колі радіуса \(1\). Рівняння одиничного кола має вигляд \(x^2+y^2=1\), і після підстановки \(x=\cos\alpha\), \(y=\sin\alpha\) справа залишається одиниця. Якби радіус кола дорівнював \(R\), справа стояло б \(R^2\).
Як зрозуміти, який знак ставити перед коренем?
Знак не залежить від формули — його визначає чверть, у якій лежить кут. Синус додатний у I та II чвертях, косинус — у I та IV. Тому спершу подивіться на умову про межі кута, визначте чверть, і лише потім ставте плюс або мінус перед арифметичним коренем.
Чи можна знайти всі функції, якщо чверть не вказана?
Ні, однозначно — не можна. За відомим \(\sin\alpha\) без вказівки на чверть косинус має два можливі значення, протилежні за знаком, а разом із ним двояться тангенс і котангенс. У такому разі в відповіді записують обидва варіанти.
Звідки береться формула \(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}\)?
Це основна тотожність, поділена почленно на \(\cos^2\alpha\). Перший доданок дає \(\operatorname{tg}^2\alpha\), другий — одиницю, а права частина стає \(\frac{1}{\cos^2\alpha}\). Формула справедлива для всіх кутів, де \(\cos\alpha \ne 0\).
