Тригонометричні функції: синус, косинус, тангенс, котангенс
У 8 класі синус і косинус означали через сторони прямокутного трикутника — і цього вистачало, поки кут був гострим. У 10 класі з'являються кути 120°, 200°, 750° і навіть від'ємні, а трикутника з таким кутом не існує. Тому означення переносять на одиничне коло: це не нова тема, а розширення старої на всі кути одразу. На заняттях у Tutor-Math ми завжди починаємо саме з переходу «трикутник → коло», бо без нього вся подальша тригонометрія перетворюється на зубріння знаків і формул.
Від прямокутного трикутника до кола
Нагадаємо шкільні означення для гострого кута \( \alpha \) у прямокутному трикутнику: синус — відношення протилежного катета до гіпотенузи, косинус — прилеглого катета до гіпотенузи. Детальний розбір цієї конструкції є в статті про тригонометрію в прямокутному трикутнику.
Тепер помістимо трикутник у координатну площину: вершина кута — у початку координат \( O \), один катет лежить на осі \( Ox \), а гіпотенуза має довжину 1. Тоді друга вершина потрапляє на одиничне коло — коло радіуса 1 з центром у початку координат (про саме коло як фігуру — у матеріалі коло і круг). Гіпотенуза дорівнює 1, тому відношення перетворюються на самі катети: прилеглий катет — це абсциса точки, протилежний — ордината.
Це і є ключ. Координати точки на колі існують для будь-якого кута повороту, а не лише для гострого. Отже, ними й можна означити функції.
Означення через одиничне коло
Нехай точка \( P \) отримана поворотом точки \( (1;\,0) \) навколо початку координат на кут \( \alpha \). Тоді \( \cos\alpha \) — це абсциса точки \( P \), а \( \sin\alpha \) — її ордината: \( P(\cos\alpha;\ \sin\alpha) \).
Додатним вважається поворот проти годинникової стрілки, від'ємним — за нею. Тангенс і котангенс означають через синус і косинус:
\[ \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \]Оскільки точка \( P \) лежить на колі радіуса 1, її координати задовольняють рівняння кола \( x^2 + y^2 = 1 \). Підстановка дає основну тригонометричну тотожність:
\[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \]Тобто ця тотожність — не окрема формула для запам'ятовування, а просто рівняння одиничного кола, записане в інших буквах.
Градусна і радіанна міри
Градус — це \( \frac{1}{360} \) частина повного оберту, домовленість родом з Вавилону. Радіан визначається геометрично.
Один радіан — це центральний кут, що спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола.
Довжина всього одиничного кола дорівнює \( 2\pi \), тому повний оберт — це \( 2\pi \) радіан, а розгорнутий кут — \( \pi \) радіан. Звідси обидві формули переведення:
\[ \alpha_{\text{рад}} = \alpha_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{180}, \qquad \alpha_{\text{град}} = \alpha_{\text{рад}} \cdot \frac{180}{\pi} \]Практично це запам'ятовують так: 180° = \( \pi \), а далі все виводиться пропорцією. Один радіан — це приблизно 57,3°, але в задачах наближення майже ніколи не потрібне: відповідь лишають у вигляді \( \frac{5\pi}{6} \), а не в десяткових дробах.
Важлива деталь: у радіанному записі значок «рад» зазвичай не пишуть. Тому \( \sin 2 \) означає синус двох радіанів, а не двох градусів — це різні числа.
Знаки функцій по чвертях
Осі ділять коло на чотири чверті. Знак \( \cos\alpha \) — це знак абсциси, знак \( \sin\alpha \) — знак ординати. Далі просто:
- I чверть (0°–90°): \( x > 0 \), \( y > 0 \) — усі чотири функції додатні.
- II чверть (90°–180°): \( x < 0 \), \( y > 0 \) — додатний лише синус.
- III чверть (180°–270°): \( x < 0 \), \( y < 0 \) — додатні тангенс і котангенс (мінус на мінус).
- IV чверть (270°–360°): \( x > 0 \), \( y < 0 \) — додатний лише косинус.
Мнемоніка, яку легко втримати в голові: «Всі — Синус — Тангенс — Косинус» за чвертями від першої до четвертої. У кожній чверті названа функція (і в III — разом із котангенсом) додатна, решта — від'ємні. Але надійніше не мнемоніка, а звичка за секунду малювати коло на чернетці: помилитися в знаку абсциси точки, що лежить зліва від осі \( Oy \), майже неможливо.
Таблиця значень основних кутів
Ці п'ять стовпців треба знати напам'ять — вони зустрічаються в кожній другій задачі:
- \( \sin \): \( 0;\ \frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{2};\ 1 \) для кутів 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
- \( \cos \): ті самі числа у зворотному порядку — \( 1;\ \frac{\sqrt{3}}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2};\ \frac{1}{2};\ 0 \).
- \( \operatorname{tg} \): \( 0;\ \frac{\sqrt{3}}{3};\ 1;\ \sqrt{3} \); при 90° тангенс не існує.
- \( \operatorname{ctg} \): при 0° не існує, далі \( \sqrt{3};\ 1;\ \frac{\sqrt{3}}{3};\ 0 \).
Спосіб не зубрити: у чисельнику синуса послідовно стоять \( \sqrt{0},\ \sqrt{1},\ \sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{4} \), а знаменник усюди 2. Виходить \( 0;\ \frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{2};\ 1 \). Косинус читається за тією ж таблицею справа наліво. Якщо дії з коренями ще нестійкі, варто повторити квадратний корінь — тут він потрібен постійно.
Періодичність
Повний оберт повертає точку в те саме місце кола. Тому додавання \( 360° \) (тобто \( 2\pi \)) нічого не змінює:
\[ \sin(\alpha + 2\pi k) = \sin\alpha, \qquad \cos(\alpha + 2\pi k) = \cos\alpha, \quad k \in \mathbb{Z} \]Найменший додатний період синуса й косинуса — \( 2\pi \). А от у тангенса й котангенса період удвічі менший — \( \pi \). Причина видна на колі: діаметрально протилежні точки мають координати \( (x;\,y) \) і \( (-x;\,-y) \), і в частці \( \frac{y}{x} \) обидва мінуси скорочуються. Тому \( \operatorname{tg}(\alpha + \pi k) = \operatorname{tg}\alpha \).
Практичний наслідок: будь-який великий кут можна зменшити, віднімаючи цілу кількість періодів, і звести обчислення до таблиці.
Область визначення й область значень
Синус і косинус визначені для будь-якого кута: точка на колі є завжди. Тангенс — це дріб зі знаменником \( \cos\alpha \), тому він не існує там, де косинус нульовий, тобто при \( \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k \). Симетрично котангенс не існує при \( \alpha = \pi k \).
Тепер головне питання теми.
Чому \( -1 \le \sin\alpha \le 1 \) і \( -1 \le \cos\alpha \le 1 \), а тангенс може бути будь-яким числом?
Синус і косинус — це координати точки, що лежить на колі радіуса 1. Точка не може виїхати за межі кола, а найдальші її положення по горизонталі — це \( x = \pm 1 \), по вертикалі — \( y = \pm 1 \). Формально: з \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \) випливає \( \sin^2\alpha \le 1 \), тобто \( |\sin\alpha| \le 1 \). Ось чому рівняння \( \sin x = 1{,}2 \) розв'язків не має — і це перше, що варто перевіряти в тригонометричних рівняннях.
Тангенс же — не координата, а відношення координат \( \frac{y}{x} \). Обмеження на кожну з них є, а на їхню частку — ні: коли \( x \) прямує до нуля, дріб необмежено зростає. Наочно: \( \operatorname{tg} 89{,}9° \approx 572{,}96 \), а \( \operatorname{tg} 89{,}999° \approx 57295{,}78 \). Тому область значень тангенса й котангенса — уся числова пряма.
Парність і непарність
Заміна \( \alpha \) на \( -\alpha \) — це відображення точки кола симетрично відносно осі \( Ox \). Абсциса при цьому не змінюється, ордината змінює знак. Звідси:
\[ \cos(-\alpha) = \cos\alpha, \qquad \sin(-\alpha) = -\sin\alpha \]Отже, косинус — парна функція, синус — непарна. Тангенс і котангенс, як частки парної та непарної функцій, теж непарні: \( \operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha \). Коротко: мінус «виноситься» з усіх функцій, окрім косинуса.
Приклад 1. Переведення градусів і радіанів
Виразити 210° і 36° у радіанах; \( \frac{3\pi}{4} \) і \( \frac{7\pi}{4} \) — у градусах.
Множимо на \( \frac{\pi}{180} \): \( 210 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{21\pi}{18} = \frac{7\pi}{6} \); \( 36 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{5} \).
У зворотний бік множимо на \( \frac{180}{\pi} \): \( \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{3 \cdot 180}{4} = 135° \); \( \frac{7\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{7 \cdot 180}{4} = 315° \).
Відповідь: \( \frac{7\pi}{6} \); \( \frac{\pi}{5} \); 135°; 315°.
Приклад 2. Обчислення за таблицею
Знайти значення \( \sin 30° \cdot \cos 60° + \cos 30° \cdot \sin 60° \).
Підставляємо табличні значення: \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 \).
Зверніть увагу: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4} \), бо \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \). Це найчастіше місце арифметичної помилки в темі.
Відповідь: 1.
Приклад 3. Знаки функцій
Визначити знаки \( \sin 200° \), \( \cos 200° \), \( \operatorname{tg} 200° \).
Кут 200° більший за 180°, але менший за 270°, отже, це III чверть. Точка кола лежить зліва від осі \( Oy \) і нижче осі \( Ox \), тому абсциса й ордината обидві від'ємні: \( \sin 200° < 0 \) і \( \cos 200° < 0 \). Тангенс — частка двох від'ємних чисел, тому \( \operatorname{tg} 200° > 0 \).
Контроль калькулятором: \( \sin 200° \approx -0{,}3420 \), \( \cos 200° \approx -0{,}9397 \), \( \operatorname{tg} 200° \approx 0{,}3640 \).
Відповідь: синус і косинус від'ємні, тангенс додатний.
Приклад 4. Використання періодичності
Обчислити \( \sin 1230° \), \( \cos(-1500°) \), \( \operatorname{tg} 945° \).
Відкидаємо повні оберти. \( 1230 - 3 \cdot 360 = 1230 - 1080 = 150 \), тому \( \sin 1230° = \sin 150° \). Кут 150° лежить у II чверті, де синус додатний, і \( \sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2} \).
Далі \( -1500 + 5 \cdot 360 = -1500 + 1800 = 300 \), тому \( \cos(-1500°) = \cos 300° \). Це IV чверть, косинус додатний: \( \cos 300° = \cos 60° = \frac{1}{2} \).
У тангенса період \( 180° \): \( 945 - 5 \cdot 180 = 945 - 900 = 45 \), отже \( \operatorname{tg} 945° = \operatorname{tg} 45° = 1 \).
Відповідь: \( \frac{1}{2} \); \( \frac{1}{2} \); 1.
Приклад 5. Парність і непарність
Обчислити \( \cos(-60°) + \sin(-30°) + \operatorname{tg}(-45°) \).
Косинус парний, тому \( \cos(-60°) = \cos 60° = \frac{1}{2} \). Синус непарний: \( \sin(-30°) = -\sin 30° = -\frac{1}{2} \). Тангенс непарний: \( \operatorname{tg}(-45°) = -\operatorname{tg} 45° = -1 \).
Сума: \( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 1 = -1 \).
Відповідь: \( -1 \).
Приклад 6. Область значень
Знайти область значень функцій \( y = 3\sin x - 2 \) і \( y = 5 - 2\cos x \).
Для першої: \( -1 \le \sin x \le 1 \). Множимо на 3: \( -3 \le 3\sin x \le 3 \). Віднімаємо 2: \( -5 \le y \le 1 \).
Для другої: \( -1 \le \cos x \le 1 \). Множимо на \( -2 \) — знаки нерівності перевертаються: \( -2 \le -2\cos x \le 2 \). Додаємо 5: \( 3 \le y \le 7 \).
Відповідь: \( [-5;\,1] \) і \( [3;\,7] \).
Типові помилки
- Плутанина градусів і радіанів. Запис \( \sin 2 \) — це синус 2 радіанів (приблизно 114,6°), а не 2 градусів. Калькулятор у режимі DEG замість RAD дає повністю неправильну відповідь.
- Ділення на \( \pi \) замість множення при переведенні. Градуси в радіани — множення на \( \frac{\pi}{180} \). Контроль: радіанна міра завжди мале число, 210° не може бути «12000 радіан».
- Спроба знайти кут із \( \sin x = 1{,}5 \). Такого кута немає: синус — координата точки на колі радіуса 1. Якщо в рівнянні праворуч число, більше за 1 за модулем, відповідь — «розв'язків немає».
- Обмеження тангенса. Учні автоматично переносять відрізок \( [-1;\,1] \) і на тангенс. Тангенс приймає будь-які значення, а от значення \( \pm 1 \) для нього нічим не особливі.
- Втрата знака при переході в іншу чверть. \( \cos 120° \) — це не \( \cos 60° = \frac{1}{2} \), а \( -\frac{1}{2} \): друга чверть, абсциса від'ємна. Модуль збігається, знак — ні.
- Винесення мінуса з косинуса. Запис \( \cos(-\alpha) = -\cos\alpha \) хибний. Косинус — єдина з чотирьох функцій, яка парна: \( \cos(-\alpha) = \cos\alpha \).
- Ігнорування області визначення тангенса. \( \operatorname{tg} 90° \) не дорівнює нулю чи нескінченності — він не існує, бо в знаменнику виходить \( \cos 90° = 0 \).
Висновок
Уся тема тримається на одному малюнку. Одиничне коло дає означення (\( \cos \) — абсциса, \( \sin \) — ордината), звідси автоматично випливають знаки по чвертях, обмеженість відрізком \( [-1;\,1] \), періодичність \( 2\pi \) та парність косинуса й непарність синуса. Тангенс і котангенс — похідні від них частки, і саме тому в них інший період \( \pi \) і необмежена область значень. Хто навчився за десять секунд малювати коло з розміткою, той далі не зубрить формули зведення й не губить знаки в рівняннях.
Якщо дитина плутається у чвертях, підставляє табличні значення навмання або не бачить різниці між радіаном і градусом — це питання не здібностей, а відсутності опорної картинки в голові. На індивідуальних заняттях у Tutor-Math ми будуємо цю картинку з нуля й доводимо роботу з колом до автоматизму. Запишіться на пробне заняття — і тригонометрія перестане бути набором незрозумілих символів.
Навіщо потрібні радіани, якщо є градуси?
Радіан визначається через саме коло: це кут, що спирається на дугу завдовжки в радіус. Завдяки цьому довжина дуги обчислюється просто як \( l = \alpha R \), без множників на 360. У старших класах і у вищій математиці всі формули похідних та границь тригонометричних функцій справедливі лише в радіанах, тому школа переходить на них уже в 10 класі.
Чому синус не може дорівнювати 2?
Бо синус — це ордината точки, яка лежить на колі радіуса 1 із центром у початку координат. Найвища точка такого кола має ординату 1, найнижча — \( -1 \), вийти за ці межі точка не може. Те саме випливає з тотожності \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \): якби \( \sin\alpha = 2 \), то \( \cos^2\alpha = 1 - 4 = -3 \), що неможливо.
Чому в тангенса період \( \pi \), а не \( 2\pi \)?
Поворот на \( \pi \) переводить точку \( (x;\,y) \) у діаметрально протилежну \( (-x;\,-y) \). Синус і косинус при цьому змінюють знак, але їхня частка \( \frac{y}{x} \) не змінюється — мінуси скорочуються. Тому значення тангенса повторюються вже через \( 180° \), а не через \( 360° \).
Як швидко запам'ятати таблицю значень?
Для кутів 0°, 30°, 45°, 60°, 90° синус дорівнює \( \frac{\sqrt{0}}{2},\ \frac{\sqrt{1}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{\sqrt{4}}{2} \), тобто \( 0;\ \frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{2};\ 1 \). Косинус — той самий рядок, прочитаний у зворотному порядку. Тангенс отримують діленням синуса на косинус, окремо запам'ятовувати його не потрібно.
