Властивості логарифмів
Логарифм сам по собі — просто відповідь на питання «у який степінь звести основу». Але справжня сила теми починається тоді, коли з логарифмами вчаться працювати: згортати суму в добуток, виносити показник, переходити до іншої основи. Саме ці властивості перетворюють громіздкий вираз на одне число за два рядки. На заняттях у Tutor-Math ми відпрацьовуємо їх до автоматизму, бо без них не розв'язується жодне логарифмічне рівняння. Розберімо всі правила з доведеннями, прикладами й окремим розділом про помилки, які коштують балів на НМТ.
Означення й основна логарифмічна тотожність
Означення. Логарифмом числа \(b\) за основою \(a\) називають показник степеня, до якого треба піднести \(a\), щоб дістати \(b\):
\[\log_a b = c \iff a^c = b,\qquad a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0.\]
Обмеження тут не формальність. Основа має бути додатною і не дорівнювати одиниці, а під логарифмом стоїть строго додатне число: жодним степенем додатної основи не можна дістати нуль чи від'ємне число. Детальніше про саме поняття — у статті про логарифм числа.
Якщо підставити означення саме в себе, дістанемо ключову рівність усієї теми.
Основна логарифмічна тотожність. Для \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(b > 0\):
\[a^{\log_a b} = b.\]
Читати її треба буквально: «\(\log_a b\) — це той показник, який дає \(b\); підносимо \(a\) саме до нього — звісно, дістаємо \(b\)». Перевірка: \(5^{\log_5 7} = 7\), \(10^{\lg 3} = 3\), \(2^{\log_2 0{,}5} = 0{,}5\). Тотожність працює і тоді, коли сам логарифм від'ємний.
Два окремі випадки варто запам'ятати одразу: \(\log_a 1 = 0\) (бо \(a^0 = 1\)) і \(\log_a a = 1\) (бо \(a^1 = a\)).
Логарифм добутку і логарифм частки
Для \(a > 0\), \(a \neq 1\) і додатних \(x\), \(y\):
\[\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y,\qquad \log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y.\]
Доведення першої формули — один рядок. Нехай \(\log_a x = m\) і \(\log_a y = n\), тобто \(x = a^m\), \(y = a^n\). Тоді \(xy = a^m \cdot a^n = a^{m+n}\), а це за означенням означає, що \(\log_a(xy) = m + n\). Для частки все аналогічно, лише степені відніматимуться.
Тобто логарифм переводить множення у додавання — рівно та властивість, заради якої логарифми й вигадали у XVII столітті, коли ними замінювали множення багатоцифрових чисел.
Числові перевірки: \(\log_6 2 + \log_6 3 = \log_6 6 = 1\); \(\lg 2 + \lg 50 = \lg 100 = 2\); \(\log_2 24 - \log_2 3 = \log_2 8 = 3\); \(\log_3 405 - \log_3 5 = \log_3 81 = 4\).
Логарифм степеня і винесення показника
Для \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(x > 0\) і будь-якого дійсного \(k\):
\[\log_a x^k = k\log_a x.\]
А для показника в основі:
\[\log_{a^k} x = \frac{1}{k}\log_a x,\qquad k \neq 0.\]
Перша формула — наслідок попередньої: \(x^k\) при натуральному \(k\) — це добуток \(k\) однакових множників, кожен дає свій \(\log_a x\). Для довільного дійсного \(k\) доведення таке саме через означення: якщо \(x = a^m\), то \(x^k = a^{mk}\).
Приклади: \(\log_2 8^5 = 5\log_2 8 = 5 \cdot 3 = 15\); \(\log_9 27 = \tfrac{1}{2}\log_3 27 = \tfrac{3}{2}\); \(\log_{\sqrt 3} 27 = \log_{3^{1/2}} 27 = 2\log_3 27 = 6\); \(\log_{1/2} 8 = \log_{2^{-1}} 8 = -\log_2 8 = -3\).
Важлива деталь із парним показником. Формула \(\log_a x^k = k\log_a x\) вимагає \(x > 0\). Вираз \(\log_a x^2\) існує для всіх \(x \neq 0\), а \(2\log_a x\) — лише для \(x > 0\). Тому коректний загальний запис:
\[\log_a x^2 = 2\log_a |x|.\]
Ігнорування модуля — стандартна причина втрати коренів у логарифмічних рівняннях.
Формула переходу до нової основи
Для \(a, c > 0\), \(a, c \neq 1\), \(b > 0\):
\[\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}.\]
Наслідки: \(\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}\) і \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\).
Ця формула — універсальний перекладач: будь-який логарифм можна переписати через будь-яку зручну основу. Перевірки: \(\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2}\); \(\log_2 5 \cdot \log_5 8 = \log_2 8 = 3\); \(\log_3 7 \cdot \log_7 9 = \log_3 9 = 2\).
Ланцюжок працює й довше: \(\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 8 = \log_2 8 = 3\) — усі проміжні основи «скорочуються».
Десятковий і натуральний логарифми
Дві основи трапляються так часто, що для них є окремі позначення.
- Десятковий логарифм — основа 10: \(\lg x = \log_{10} x\). Зручний тим, що \(\lg 10^n = n\), тож \(\lg 1000 = 3\), \(\lg 0{,}01 = -2\).
- Натуральний логарифм — основа \(e \approx 2{,}718\): \(\ln x = \log_e x\). Саме він з'являється у похідних та в задачах на неперервне зростання; \(\ln e^3 = 3\), \(\ln 1 = 0\).
Оскільки калькулятор рахує лише \(\lg\) і \(\ln\), формула переходу дає робочий інструмент для будь-якої основи:
\[\log_2 3 = \frac{\lg 3}{\lg 2} = \frac{\ln 3}{\ln 2} \approx 1{,}585.\]
Обидва дроби дають те саме число — основа проміжного логарифму не впливає на результат. Про поведінку \(\ln x\) як функції — у статті про логарифмічну функцію.
Розібрані приклади
Приклад 1. Обчислити \(\log_5 250 - \log_5 2\).
Різниця логарифмів з однаковою основою — логарифм частки: \(\log_5 \dfrac{250}{2} = \log_5 125\). Оскільки \(125 = 5^3\), маємо \(\log_5 5^3 = 3\).
Відповідь: 3.
Приклад 2. Обчислити \(9^{\log_3 4}\).
Основну тотожність можна застосувати лише тоді, коли основа степеня збігається з основою логарифма. Зводимо: \(9 = 3^2\), тому \(9^{\log_3 4} = \left(3^{\log_3 4}\right)^2 = 4^2 = 16\).
Відповідь: 16.
Приклад 3. Обчислити \(4^{1 + \log_2 3}\).
Розбиваємо степінь: \(4^{1+\log_2 3} = 4 \cdot 4^{\log_2 3}\). Далі \(4^{\log_2 3} = \left(2^{\log_2 3}\right)^2 = 3^2 = 9\). Разом \(4 \cdot 9 = 36\).
Відповідь: 36.
Приклад 4. Обчислити \(\log_7 49 + 3^{\log_3 5} - \log_{1/2} 4\).
Перший доданок: \(\log_7 7^2 = 2\). Другий: за основною тотожністю \(3^{\log_3 5} = 5\). Третій: \(\log_{2^{-1}} 4 = -\log_2 4 = -2\), а віднімається він зі знаком мінус, тому дає \(+2\). Разом \(2 + 5 + 2 = 9\).
Відповідь: 9.
Приклад 5. Обчислити \(\dfrac{\log_5 250 - \log_5 2}{\log_3 45 - \log_3 5}\).
Чисельник згортається у \(\log_5 125 = 3\), знаменник — у \(\log_3 9 = 2\). Дріб дорівнює \(\dfrac{3}{2} = 1{,}5\). Зверніть увагу: скорочувати логарифми «навхрест» тут не можна — спочатку кожен рахуємо як число.
Відповідь: 1,5.
Приклад 6. Обчислити \(\log_2 5 \cdot \log_5 8\).
За наслідком формули переходу \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\), отже добуток дорівнює \(\log_2 8 = 3\). Той самий результат через дроби: \(\dfrac{\lg 5}{\lg 2}\cdot\dfrac{\lg 8}{\lg 5} = \dfrac{\lg 8}{\lg 2} = 3\).
Відповідь: 3.
Обчислення логарифмів без калькулятора
Типове завдання НМТ: дано \(\lg 2 \approx 0{,}3010\), знайти інші десяткові логарифми. Уся техніка — розкласти число на множники, у яких є 2 і 10.
- \(\lg 8 = \lg 2^3 = 3\lg 2 \approx 0{,}9030\).
- \(\lg 5 = \lg \dfrac{10}{2} = \lg 10 - \lg 2 = 1 - 0{,}3010 = 0{,}6990\).
- \(\lg 40 = \lg (4 \cdot 10) = 2\lg 2 + 1 \approx 1{,}6020\).
- \(\lg 0{,}25 = \lg 2^{-2} = -2\lg 2 \approx -0{,}6020\).
Той самий підхід працює для будь-якої основи через формулу переходу. Наприклад, \(\log_4 32 = \dfrac{\log_2 32}{\log_2 4} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\) — калькулятор не потрібен взагалі, бо і 32, і 4 є степенями двійки. Загальне правило: перш ніж рахувати, спробуйте звести всі числа до спільної основи. Про роботу зі степенями з довільним показником — у статті про степінь із натуральним показником.
Типові помилки
Три помилки нижче — найпоширеніші в темі. Кожну спростуємо конкретними числами, щоб вона запам'яталася не як заборона, а як факт.
- «Логарифм суми дорівнює сумі логарифмів»: \(\log(a+b) \neq \log a + \log b\). Візьмімо \(a = 2\), \(b = 8\). Ліворуч: \(\lg(2+8) = \lg 10 = 1\). Праворуч: \(\lg 2 + \lg 8 = \lg 16 \approx 1{,}204\). Числа різні. Сума логарифмів згортається у логарифм добутку, а не суми — \(\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)\). Для \(\log(a+b)\) формули спрощення просто не існує.
- «Частка логарифмів — це логарифм частки»: \(\dfrac{\log a}{\log b} \neq \log\dfrac{a}{b}\). Візьмімо \(a = 100\), \(b = 10\). Ліворуч: \(\dfrac{\lg 100}{\lg 10} = \dfrac{2}{1} = 2\). Праворуч: \(\lg\dfrac{100}{10} = \lg 10 = 1\). Знову різні. Логарифм частки — це різниця: \(\log_a x - \log_a y\). А дріб \(\dfrac{\log_c b}{\log_c a}\) має інший сенс — це \(\log_a b\), формула переходу до нової основи.
- «Квадрат логарифма — це подвоєний логарифм»: \((\log a)^2 \neq 2\log a\). Візьмімо \(a = 1000\). Ліворуч: \((\lg 1000)^2 = 3^2 = 9\). Праворуч: \(2\lg 1000 = 6\). Плутанина виникає через схожий запис: показник виноситься лише тоді, коли він стоїть під логарифмом — \(\lg(1000^2) = 2\lg 1000 = 6\). Запис \(\log^2 a\) означає \((\log a)^2\) і не спрощується.
- Втрата ОДЗ. Перехід від \(\log_a x + \log_a y\) до \(\log_a(xy)\) розширює область визначення: добуток \(xy\) додатний і тоді, коли обидва множники від'ємні. У рівняннях це дає сторонні корені, тому ОДЗ (\(x > 0\) і \(y > 0\)) виписують до перетворень.
- Складання логарифмів з різними основами. Запис \(\log_2 3 + \log_5 3\) згорнути не можна: властивості добутку й частки працюють лише при однаковій основі. Спершу — формула переходу, і лише потім арифметика.
Висновок
Властивостей логарифмів рівно п'ять: основна тотожність, логарифм добутку, логарифм частки, винесення показника й перехід до нової основи. Усі вони виводяться з означення за один-два рядки, тому зубрити їх не потрібно — достатньо один раз зрозуміти логіку «логарифм — це показник степеня». А от відпрацювати їх на числах треба обов'язково: саме на техніці, а не на теорії, губляться бали.
Якщо перетворення поки не складаються в автоматичний навик, приходьте на пробне заняття в Tutor-Math — розберемо ваші конкретні складнощі з темою і складемо план підготовки до НМТ.
Чому \(\log(a+b)\) не дорівнює \(\log a + \log b\)?
Бо логарифм переводить у суму саме множення, а не додавання. Правильна формула: \(\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)\). Перевірка на числах: \(\lg(2+8) = \lg 10 = 1\), тоді як \(\lg 2 + \lg 8 = \lg 16 \approx 1{,}204\). Для логарифма суми формули спрощення не існує взагалі.
Як застосувати основну логарифмічну тотожність, якщо основи не збігаються?
Треба звести основу степеня до основи логарифма. Наприклад, у виразі \(9^{\log_3 4}\) записуємо \(9 = 3^2\), тоді \(9^{\log_3 4} = \left(3^{\log_3 4}\right)^2 = 4^2 = 16\). Так само \(25^{\log_5 3} = 3^2 = 9\).
Коли потрібна формула переходу до нової основи?
У трьох ситуаціях: коли треба порахувати логарифм на калькуляторі (він знає лише \(\lg\) і \(\ln\)); коли у виразі логарифми з різними основами і їх треба звести до спільної; коли добуток логарифмів згортається в один — \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\).
Чи можна виносити показник, якщо він парний?
Не завжди у вигляді \(\log_a x^2 = 2\log_a x\). Ліва частина визначена для всіх \(x \neq 0\), права — лише для \(x > 0\). Коректний загальний запис — \(\log_a x^2 = 2\log_a |x|\). Забутий модуль призводить до втрати від'ємних коренів у рівняннях.
