Вписаний і центральний кут: теорема, наслідки, приклади
Тема вписаного кута — одна з найприбутковіших у планіметрії: правил тут буквально три, а задач, які вони відмикають, — десятки. Учні часто вчать формулювання напам'ять, але не бачать потрібну конфігурацію на рисунку, тому задача виглядає «нерозв'язною». На заняттях у Tutor-Math ми відпрацьовуємо саме розпізнавання: спершу знайти на рисунку дугу, на яку спирається кут, і лише потім згадувати формулу. Нижче — той самий порядок дій.
Центральний кут і градусна міра дуги
Центральний кут — це кут із вершиною в центрі кола. Градусна міра дуги дорівнює градусній мірі центрального кута, який на неї спирається.
Тобто дуга і центральний кут — це фактично одне й те саме число, записане двома способами. Якщо \( \angle AOB = 76^\circ \), то дуга \( AB \) (та, що лежить усередині кута) теж має міру \( 76^\circ \). Друга, більша дуга \( AB \) дорівнює \( 360^\circ - 76^\circ = 284^\circ \).
Звідси перше практичне правило: у задачі про кути в колі завжди корисно позначити дуги, а не самі кути. Дуги легко складати — сума всіх дуг кола дорівнює \( 360^\circ \). Базові поняття кола — радіус, хорда, дуга, сектор — розібрані в статті коло і круг.
Вписаний кут
Вписаний кут — це кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло (тобто містять хорди). Кажуть, що вписаний кут спирається на дугу, яка лежить усередині кута і не містить його вершини.
Останнє уточнення критичне. Сторони кута відтинають дві дуги; «робоча» — та, яка не містить вершину кута. Якщо взяти не ту дугу, відповідь буде хибною, і саме тут учні втрачають бали найчастіше.
Теорема про вписаний кут
Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу. Іншими словами, вписаний кут дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається: \( \angle ACB = \tfrac{1}{2}\,\angle AOB = \tfrac{1}{2}\,\smile\! AB \).
Читати цю рівність треба в обидва боки. Знаємо дугу — ділимо навпіл і отримуємо вписаний кут. Знаємо вписаний кут — множимо на два і отримуємо дугу (а отже, і центральний кут). Наприклад, вписаний кут \( 25^\circ \) спирається на дугу \( 50^\circ \), і центральний кут на цю ж дугу дорівнює \( 50^\circ \).
Два наслідки, які й вирішують задачі
Сама теорема в чистому вигляді трапляється рідко. Працюють два її наслідки.
Наслідок 1. Вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу, рівні між собою.
Це очевидно з теореми: усі вони дорівнюють половині однієї й тієї ж дуги, тому й між собою рівні. Практично це означає: якщо на рисунку є хорда \( AB \) і кілька точок \( C, D, E \) на одній дузі, то \( \angle ACB = \angle ADB = \angle AEB \). Вершину кута можна «пересувати» по дузі — величина не зміниться. Саме звідси беруться подібні трикутники в задачах на хорди, що перетинаються.
Наслідок 2. Вписаний кут, що спирається на діаметр, — прямий.
Діаметр стягує півколо, тобто дугу \( 180^\circ \), а половина від \( 180^\circ \) — це \( 90^\circ \). Це найчастіше застосування всієї теми: щойно в задачі з'являється діаметр і точка на колі, у вас безкоштовно з'являється прямокутний трикутник, а з ним — теорема Піфагора й уся тригонометрія прямокутного трикутника.
Твердження працює і в зворотний бік: якщо вписаний кут прямий, то він спирається на діаметр. Це дає спосіб знаходити радіус описаного кола прямокутного трикутника без жодних формул.
Як розпізнати «кут спирається на діаметр», коли про це не сказано
В умові слово «діаметр» часто не звучить взагалі. Ось надійні сигнали, що конфігурація саме та:
- Центр кола лежить на стороні трикутника. Якщо \( O \) — центр описаного кола і \( O \in AC \), то \( AC \) проходить через центр, отже \( AC \) — діаметр, отже \( \angle ABC = 90^\circ \).
- Сторона дорівнює \( 2R \). Умова «\( AC = 2R \)» або «\( AC \) дорівнює діаметру» — те саме твердження іншими словами.
- Точки \( A \) і \( C \) симетричні відносно центра (\( AO = OC \) і \( A, O, C \) на одній прямій) — знову діаметр.
- Коло побудоване на відрізку як на діаметрі. Формулювання «коло з діаметром \( AB \) перетинає…» означає: будь-яка точка \( M \) цього кола дає \( \angle AMB = 90^\circ \).
- Зворотний хід: у трикутнику виявився прямий кут. Тоді гіпотенуза автоматично є діаметром описаного кола, а центр — її серединою. Прямий кут іноді треба спершу виявити самому: перевірте сторони на теорему Піфагора.
- Дуга дорівнює \( 180^\circ \) або сума інших дуг дає \( 180^\circ \) — стягувальна хорда є діаметром.
Правило-пам'ятка: побачив у задачі про коло слова «діаметр», «центр на стороні», «\( 2R \)» — одразу став прямий кут на рисунку, ще до того, як зрозумів, навіщо він потрібен. У дев'яти випадках з десяти саме він і буде ключем.
Кут між хордою і дотичною
Кут між дотичною до кола і хордою, проведеною в точку дотику, дорівнює половині дуги, розміщеної всередині цього кута.
Це та сама теорема про вписаний кут у граничному випадку: уявіть, що вершина вписаного кута ковзає по колу і зливається з точкою \( A \) — одна сторона кута перетворюється на дотичну. Наслідок для задач: кут між дотичною і хордою дорівнює вписаному куту, що спирається на цю хорду з іншого боку. Властивості самої дотичної розібрані в статті дотична до кола.
Вписаний чотирикутник
Сума протилежних кутів вписаного (циклічного) чотирикутника дорівнює \( 180^\circ \). І навпаки: якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює \( 180^\circ \), навколо нього можна описати коло.
Доведення в один рядок: кути \( A \) і \( C \) — вписані, вони спираються на дві дуги \( BCD \) і \( BAD \), які разом складають усе коло, тобто \( 360^\circ \). Половина від \( 360^\circ \) — це \( 180^\circ \). Про те, коли коло взагалі можна вписати або описати, читайте у статті вписане і описане коло.
Два корисні часткові випадки: навколо паралелограма коло можна описати лише тоді, коли він прямокутник; навколо трапеції — лише коли вона рівнобічна.
Приклад 1. Перехід між центральним і вписаним кутом
Центральний кут \( \angle AOB = 76^\circ \). Знайти вписаний кут \( \angle ACB \), де \( C \) — точка більшої дуги. Окремо: вписаний кут дорівнює \( 25^\circ \) — яка дуга, на яку він спирається?
Дуга \( AB \), на яку спирається \( \angle ACB \), дорівнює центральному куту, тобто \( 76^\circ \). За теоремою про вписаний кут \( \angle ACB = 76^\circ : 2 = 38^\circ \).
Друга частина — зворотний хід: дуга дорівнює подвоєному вписаному куту, \( 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ \).
Відповідь: \( \angle ACB = 38^\circ \); дуга дорівнює \( 50^\circ \).
Приклад 2. Кут, що спирається на діаметр
\( AB \) — діаметр кола, \( AB = 25 \) см, точка \( C \) лежить на колі, \( AC = 15 \) см. Знайти \( BC \) і висоту \( CH \), проведену до \( AB \).
Кут \( \angle ACB \) спирається на діаметр, отже \( \angle ACB = 90^\circ \). Трикутник \( ACB \) прямокутний із гіпотенузою \( AB \):
\[ BC = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20. \]
Висоту знаходимо через площу: \( \tfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \tfrac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \), звідки
\[ CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12. \]
Перевірка: \( AH = \frac{15^2}{25} = 9 \), \( BH = \frac{20^2}{25} = 16 \), і \( 9 + 16 = 25 = AB \).
Відповідь: \( BC = 20 \) см, \( CH = 12 \) см.
Приклад 3. Рівні кути на одну дугу
Хорди \( AC \) і \( BD \) перетинаються в точці \( P \). Відомо, що \( \angle BAC = 42^\circ \), \( \angle ABD = 63^\circ \). Знайти \( \angle APB \) і \( \angle ACD \).
У трикутнику \( APB \) два кути вже відомі (це кути \( \angle PAB = \angle CAB = 42^\circ \) і \( \angle PBA = \angle DBA = 63^\circ \)), тому
\[ \angle APB = 180^\circ - 42^\circ - 63^\circ = 75^\circ. \]
Далі — наслідок 1. Кути \( \angle ACD \) і \( \angle ABD \) вписані й спираються на одну дугу \( AD \), причому точки \( B \) і \( C \) лежать по один бік від хорди \( AD \). Отже, \( \angle ACD = \angle ABD = 63^\circ \).
Відповідь: \( \angle APB = 75^\circ \), \( \angle ACD = 63^\circ \).
Приклад 4. Кут між хордою і дотичною
До кола в точці \( A \) проведено дотичну, кут між дотичною і хордою \( AB \) дорівнює \( 58^\circ \). Знайти дугу \( AB \), центральний кут \( \angle AOB \) і кути трикутника \( AOB \).
Дуга всередині кута між дотичною і хордою дорівнює подвоєному куту: \( 2 \cdot 58^\circ = 116^\circ \). Центральний кут на цю дугу такий самий: \( \angle AOB = 116^\circ \).
Трикутник \( AOB \) рівнобедрений, бо \( OA = OB = R \). Кути при основі:
\[ \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - 116^\circ}{2} = 32^\circ. \]
Контроль: \( \angle OAB + 58^\circ = 32^\circ + 58^\circ = 90^\circ \) — і це правильно, бо радіус \( OA \) перпендикулярний до дотичної в точці дотику.
Відповідь: дуга \( AB = 116^\circ \), \( \angle AOB = 116^\circ \), кути при основі по \( 32^\circ \).
Приклад 5. Вписаний чотирикутник
Чотирикутник \( ABCD \) вписаний у коло, \( \angle A = 3x - 10^\circ \), \( \angle C = x + 30^\circ \). Знайти \( x \) і всі відомі кути. Додатково: \( \angle B = 95^\circ \) — знайти \( \angle D \).
Кути \( A \) і \( C \) протилежні, тому їхня сума дорівнює \( 180^\circ \):
\[ (3x - 10) + (x + 30) = 180 \;\Rightarrow\; 4x + 20 = 180 \;\Rightarrow\; x = 40. \]
Підставляємо назад: \( \angle A = 3 \cdot 40 - 10 = 110^\circ \), \( \angle C = 40 + 30 = 70^\circ \). Перевірка: \( 110^\circ + 70^\circ = 180^\circ \) — рівність виконується.
Кути \( B \) і \( D \) теж протилежні: \( \angle D = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ \). Контроль суми всіх кутів чотирикутника: \( 110 + 95 + 70 + 85 = 360 \).
Відповідь: \( x = 40 \), \( \angle A = 110^\circ \), \( \angle C = 70^\circ \), \( \angle D = 85^\circ \).
Приклад 6. Діаметр, про який не сказано ні слова
Сторони трикутника дорівнюють \( 15 \), \( 20 \) і \( 25 \) см. Знайти радіус описаного кола.
Слова «діаметр» в умові немає, тому шукаємо прямий кут. Перевіряємо найбільшу сторону:
\[ 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2. \]
Рівність виконується, отже за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, трикутник прямокутний, і прямий кут лежить проти сторони \( 25 \). Прямий вписаний кут спирається лише на діаметр, тому сторона \( 25 \) см — це діаметр описаного кола. Звідси
\[ R = \frac{25}{2} = 12{,}5 \text{ см}. \]
Той самий результат дає теорема синусів: \( R = \dfrac{c}{2\sin C} = \dfrac{25}{2 \cdot \sin 90^\circ} = 12{,}5 \).
Відповідь: \( R = 12{,}5 \) см.
Типові помилки
- Беруть не ту дугу. Вписаний кут спирається на дугу, що не містить його вершини. Якщо взяти другу дугу, замість \( 38^\circ \) вийде \( 142^\circ \).
- Множать замість того, щоб ділити. Вписаний кут — половина дуги. Помилка з подвоєнням дає рівно вчетверо більшу відповідь від правильної.
- Вважають рівними будь-які вписані кути. Рівні лише ті, що спираються на одну й ту саму дугу. Кути на дві різні дуги, що доповнюють одна одну, у сумі дають \( 180^\circ \), а не рівні між собою.
- Не помічають діаметр. Формулювання «центр кола лежить на стороні \( AC \)» — це прихована умова \( \angle B = 90^\circ \). Пропустивши її, учень починає розв'язувати через теорему косинусів там, де вистачило б Піфагора.
- Плутають вписаний кут із кутом між хордами. Кут між двома хордами, що перетинаються всередині кола, дорівнює напівсумі двох протилежних дуг, а не половині однієї.
- Застосовують «сума \( 180^\circ \)» до сусідніх кутів чотирикутника. Правило працює лише для протилежних кутів: \( A \) і \( C \), \( B \) і \( D \).
- Забувають, що коло описати можна не завжди. Перш ніж користуватися властивістю вписаного чотирикутника, треба переконатися, що всі чотири вершини справді лежать на одному колі.
Висновок
Уся тема тримається на одному реченні: вписаний кут — половина дуги, на яку він спирається. Решта — наслідки, які варто довести до автоматизму: рівні кути на одну дугу, прямий кут на діаметр, сума протилежних кутів вписаного чотирикутника \( 180^\circ \). Головна навичка — не переказ теореми, а вміння побачити потрібну конфігурацію на рисунку, особливо приховану умову про діаметр.
Якщо задачі на коло досі виглядають як набір випадкових рисунків, це питання практики під наглядом. Запишіться на пробне заняття — розберемо вашу конкретну задачу і побудуємо порядок дій, який працює на будь-якому рисунку.
Чим вписаний кут відрізняється від центрального?
Вершиною. У центрального кута вершина в центрі кола, у вписаного — на самому колі. Центральний кут дорівнює дузі, на яку спирається, а вписаний — половині цієї дуги. Якщо обидва кути спираються на одну дугу, вписаний удвічі менший за центральний.
Чому кут, що спирається на діаметр, завжди прямий?
Діаметр ділить коло навпіл, тому стягує дугу \( 180^\circ \). Вписаний кут дорівнює половині своєї дуги, тобто \( 180^\circ : 2 = 90^\circ \). Це не залежить від того, де саме на колі стоїть вершина кута, — результат завжди \( 90^\circ \).
Як зрозуміти, що в задачі йдеться про діаметр, якщо слова «діаметр» немає?
Шукайте один із сигналів: центр кола лежить на стороні трикутника; сторона дорівнює \( 2R \); коло побудоване на відрізку як на діаметрі; дуга дорівнює \( 180^\circ \). Працює й зворотний хід: якщо трикутник виявився прямокутним (перевірте сторони теоремою Піфагора), то його гіпотенуза — діаметр описаного кола.
Навколо будь-якого чотирикутника можна описати коло?
Ні. Лише тоді, коли сума протилежних кутів дорівнює \( 180^\circ \). Наприклад, навколо прямокутника й квадрата коло описати можна, а навколо довільного паралелограма чи ромба — ні. З трапецій підходять тільки рівнобічні.
