Справочные материалы НМТ по математике

Справочные материалы НМТ по математике: что дают и чего не дают

Каждый участник НМТ по математике получает справочные материалы — официальную подборку формул, доступную прямо во время теста. Вокруг неё выросли два противоположных мифа: «там есть всё, учить ничего не надо» и «там нет ничего полезного». Оба неверны. В Tutor-Math мы начинаем подготовку с того, что открываем реальный справочник и проводим границу: вот это можно не учить, а вот это придётся знать наизусть, потому что его там нет. Ниже — точный состав материалов по официальному демонстрационному варианту НМТ-2026 и разбор того, где они спасают, а где бесполезны.

Что это такое. Справочные материалы — это три страницы формул, которые Украинский центр оценивания качества образования публикует вместе с демонстрационным вариантом и предоставляет участнику во время тестирования в отдельной вкладке тестовой среды. Свои шпаргалки приносить нельзя: доступен только этот набор, одинаковый для всех.

Актуальный состав всегда стоит сверять с первоисточником — официальным сайтом УЦОКО testportal.gov.ua, где справочные материалы публикуются в составе демонстрационного варианта. Описание ниже соответствует демонстрационному варианту НМТ-2026 по математике.

Что именно входит в справочные материалы

Набор состоит из таблицы квадратов и двух больших блоков — алгебры и геометрии.

• Таблица квадратов чисел от 10 до 49.
• Формулы сокращённого умножения — ровно три: \(a^2 - b^2\), \((a+b)^2\), \((a-b)^2\).
• Квадратное уравнение — дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), формула корней, разложение \(ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)\).
• Модуль числа — определение через два случая.
• Степени — все базовые свойства, включая \(a^{-n}\) и \(a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\).
• Логарифмы — основное тождество, логарифм произведения, частного, степени.
• Прогрессии — \(a_n\) и \(S_n\) для арифметической, \(b_n\) и \(S_n\) для геометрической.
• Вероятность и комбинаторика — \(P(A) = \dfrac{k}{n}\), а также \(P_n = n!\), \(C_n^k\), \(A_n^k\).
• Производная — таблица производных основных функций и правила для суммы, произведения, частного.
• Первообразная и интеграл — таблица первообразных и формула Ньютона-Лейбница.
• Тригонометрия — основное тождество, \(\sin 2\alpha\), \(\cos 2\alpha\), несколько формул приведения, единичная окружность и таблица значений для типовых углов.
• Геометрия — теорема Пифагора, теоремы синусов и косинусов, формула Герона, площади треугольника и четырёхугольников, длина окружности и площадь круга, уравнение окружности.
• Стереометрия — объёмы и боковые поверхности призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара.
• Координаты и векторы — середина отрезка, длина вектора, скалярное произведение в координатах и через косинус угла.

Это немало. Формулы площадей из темы площадь треугольника частично там есть, как и формулы сокращённого умножения. Но именно слово «частично» — ключевое.

Как пользоваться справочником быстро

Главный ресурс на тесте — время, и поиск формулы его съедает. Три правила, которые экономят минуты:

• Знайте раскладку заранее. Распечатайте справочник и работайте с ним на каждом тренировочном тесте. К экзамену вы должны помнить не формулу, а её координаты: «объёмы — правый нижний угол третьей страницы».
• Открывайте справочник уже с готовым планом. Сначала решите задачу в голове до уровня «мне нужна формула объёма конуса», и только тогда смотрите. Листать справочник в поисках вдохновения — самая дорогая ошибка.
• Не сверяйте то, что знаете. Если вы уверены в теореме Пифагора, не проверяйте её. Справочник — для редкоупотребимого: Герона, комбинаторики, первообразных.

Главное: чего в справочнике НЕТ

Это самая ценная часть разговора. Справочник содержит формулы, но не содержит методов и не содержит доброй половины того, что реально спрашивают. Вот самые опасные пробелы.

• Теорема Виета. Есть дискриминант, но нет \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\) и \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Между тем теорема Виета — самый быстрый способ для половины задач о корнях.
• Кубы. \((a \pm b)^3\), \(a^3 + b^3\), \(a^3 - b^3\) отсутствуют. В справочнике только три базовые формулы сокращённого умножения.
• Решения тригонометрических уравнений. Нет ни \(\arcsin\), ни общих формул корней \(\sin x = a\), \(\cos x = a\). Единичная окружность есть — а что с ней делать, надо знать самому.
• Формулы сложения. \(\sin(\alpha \pm \beta)\), \(\cos(\alpha \pm \beta)\), \(\operatorname{tg} 2\alpha\), переход от суммы к произведению — всего этого нет.
• Производная сложной функции. Правила для суммы, произведения и частного есть, а \(\left(f(g(x))\right)' = f'(g)\cdot g'\) — нет. Так же нет уравнения касательной.
• Планиметрические теоремы. Вписанный угол, свойства средней линии, признаки подобия, отношение площадей подобных фигур, теорема о биссектрисе, деление медиан в отношении \(2:1\) — ни одной из них в справочнике нет.
• Дуга и сектор. Есть длина всей окружности \(L = 2\pi R\) и площадь круга, но нет длины дуги и площади сектора.
• Бесконечная геометрическая прогрессия. Сумма \(S = \dfrac{b_1}{1-q}\) при \(|q| < 1\) отсутствует.
• Логарифм по новому основанию. Формулы перехода нет.

Полный разбор этого списка с объяснениями, почему каждая формула критична, — в отдельной статье формулы вне справочника.

Пример 1. Справочник спасает: комбинаторика

В магазине 12 белых и 25 красных роз. Покупатель заказал букет из двух белых роз и одной красной. Сколько всего вариантов такого выбора?

Две белые из двенадцати выбираем без учёта порядка — это сочетания. Формула \(C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) есть в справочнике:

\[C_{12}^{2} = \frac{12!}{2!\cdot 10!} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66\]

Красную выбираем 25 способами. По правилу произведения:

\[66 \cdot 25 = 1650\]

Здесь справочник закрывает всю техническую часть: достаточно распознать сочетания и аккуратно подставить.

Ответ: 1650.

Пример 2. Справочник спасает: сокращение дроби

Упростить \(\dfrac{4x^2 - 25}{(2x-5)^2}\).

В числителе — разность квадратов, и именно эта формула в справочнике есть: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Записываем \(4x^2 = (2x)^2\), \(25 = 5^2\):

\[\frac{4x^2-25}{(2x-5)^2} = \frac{(2x-5)(2x+5)}{(2x-5)^2} = \frac{2x+5}{2x-5}\]

Проверка подстановкой \(x = 1\): исходное выражение равно \(\dfrac{4-25}{9} = -\dfrac{7}{3}\), упрощённое — \(\dfrac{7}{-3} = -\dfrac{7}{3}\). Совпало.

Ответ: \(\dfrac{2x+5}{2x-5}\).

Пример 3. Справочник бесполезен: вписанный угол

На окружности выбраны точки \(A\), \(B\), \(C\) так, что \(\angle ACB = 30^\circ\). Длина меньшей дуги \(AB\) равна \(25\pi\) см. Найти длину окружности.

Открываем справочник — там есть \(L = 2\pi R\) и \(S = \pi R^2\). Ни то, ни другое применить нельзя, потому что радиус неизвестен. Нужны две вещи, которых в справочнике нет:

• вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается;
• длина дуги пропорциональна её градусной мере.

Из первого: дуга \(AB\) равна \(2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\). Это шестая часть полной окружности, так как \(360^\circ : 60^\circ = 6\). Значит, вся длина окружности вшестеро больше дуги:

\[L = 6 \cdot 25\pi = 150\pi\]

Формула \(L = 2\pi R\) в решении так и не понадобилась. Задача полностью держалась на теореме, которой в справочнике нет.

Ответ: \(150\pi\) см.

Пример 4. Справочник бесполезен: тригонометрическое уравнение

Сколько корней уравнения \(\cos x = 0\) принадлежат промежутку \([0;\, 2\pi]\)?

В справочнике есть единичная окружность и таблица значений. Таблица даёт \(\cos 90^\circ = 0\) — и на этом помощь исчерпывается: таблица содержит лишь восемь углов и не отвечает на вопрос о количестве корней на промежутке.

Надо знать, что \(\cos x\) — это абсцисса точки на единичной окружности, и нулю она равна в двух точках: вверху и внизу. Это \(x = \dfrac{\pi}{2}\) и \(x = \dfrac{3\pi}{2}\). Оба принадлежат \([0;\, 2\pi]\). Общая запись \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n\) даёт при \(n = -1\) значение \(-\dfrac{\pi}{2}\), а при \(n = 2\) — \(\dfrac{5\pi}{2}\); оба вне промежутка.

Ответ: два корня.

Пример 5. Наполовину: объём призмы

Основание прямой призмы — ромб с острым углом \(60^\circ\). Площадь большего диагонального сечения равна \(240\sqrt{3}\), высота призмы \(8\sqrt{3}\). Найти объём.

Справочник даёт \(V = S_{\text{осн}} \cdot H\) и \(S = ab\sin\gamma\). Но чтобы ими воспользоваться, надо самому знать свойство ромба: диагональ напротив острого угла \(60^\circ\) равна стороне \(a\), а бо́льшая диагональ равна \(a\sqrt{3}\). Этого в справочнике нет.

Большее диагональное сечение — прямоугольник со сторонами \(a\sqrt{3}\) и \(8\sqrt{3}\):

\[a\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} = 24a = 240\sqrt{3} \;\Rightarrow\; a = 10\sqrt{3}\]

Площадь основания по формуле из справочника, \(\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\):

\[S_{\text{осн}} = a^2 \sin 60^\circ = 300 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3}\] \[V = 150\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} = 1200 \cdot 3 = 3600\]

Справочник закрыл две формулы из трёх. Третью — свойство диагоналей ромба — пришлось знать.

Ответ: 3600.

Почему полагаться только на справочник — ошибка

Даже если бы справочник содержал все формулы мира, он не решил бы главной проблемы. Формула — последнее звено решения, а не первое. Перед ней идут построение модели задачи, выбор метода, преобразование условия. Справочник не подскажет, что в задаче про лестницу надо провести перпендикуляр, что систему неравенств решают пересечением множеств, а текстовую задачу сводят к уравнению.

Вторая причина — скорость. НМТ по математике содержит 22 задания, максимум 32 балла, и время ограничено. Ученик, который ищет в справочнике даже половину нужных формул, не успевает физически. Справочник должен быть страховкой на два-три обращения за весь тест, а не рабочим инструментом. О распределении времени по типам заданий — в статье о структуре НМТ по математике.

Третья — справочник даёт формулы, а баллы дают за умения. Поэтому подготовку строят вокруг перечня тем НМТ-2026, где справочник — лишь вспомогательный материал.

Типичные ошибки

• Увидеть справочник впервые на экзамене. Ученик тратит первые минуты на разбор структуры трёх страниц. Эти минуты стоят одного-двух заданий.
• Считать, что тригонометрия «есть в справочнике». Там есть основное тождество и несколько формул приведения. Формул сложения, решений уравнений и половины формул приведения нет.
• Не выучить теорему Виета, потому что «есть дискриминант». Формально так, но через дискриминант задача на целые корни решается вчетверо дольше.
• Путать боковую и полную поверхность. В справочнике приведена именно \(S_{\text{б}}\). Если в задаче спрашивают полную поверхность, надо самому добавить площади оснований.
• Искать в справочнике планиметрическую теорему. Справочник геометрии — это формулы площадей и объёмов. Теорем об углах, подобии и вписанных фигурах там нет вообще.
• Путать площадь круга с площадью сектора. Задачи на сектор и дугу встречаются регулярно, а этих формул в справочнике нет.

Вывод

Справочные материалы НМТ — это хорошая подстраховка на редкоупотребимые формулы: Герона, комбинаторику, первообразные, объёмы. Это не замена знаниям. Всё, что касается методов решения, планиметрических теорем, тригонометрических уравнений и быстрых приёмов вроде теоремы Виета, придётся знать наизусть. Правильная стратегия проста: выучить состав справочника, чтобы не учить лишнего, и составить личный список того, чего там нет.

Если хотите разобраться, какие именно пробелы есть в вашей подготовке, и построить план под них — запишитесь на пробное занятие. На нём мы пройдёмся по справочнику вместе и составим ваш персональный перечень формул для заучивания.

Можно ли принести на НМТ собственную шпаргалку с формулами?

Нет. Во время тестирования доступен только официальный набор справочных материалов, одинаковый для всех участников. Любые собственные записи, распечатки или дополнительные материалы запрещены. Именно поэтому важно заранее знать, что в официальном справочнике есть, а чего нет.

Есть ли в справочных материалах теорема Виета?

Нет. В разделе о квадратном уравнении приведены дискриминант, формула корней и разложение трёхчлена на множители, но соотношений \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\) и \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\) там нет. Теорему Виета надо знать наизусть — она существенно ускоряет задачи на корни.

Есть ли в справочнике формулы решения тригонометрических уравнений?

Нет. Справочник содержит основное тригонометрическое тождество, формулы двойного угла, часть формул приведения, единичную окружность и таблицу значений для типовых углов. Общих формул корней уравнений \(\sin x = a\) и \(\cos x = a\), как и формул сложения, в нём нет.

Где взять официальные справочные материалы для тренировки?

Они публикуются на сайте Украинского центра оценивания качества образования testportal.gov.ua вместе с демонстрационным вариантом НМТ по математике. Скачайте демовариант текущего года, распечатайте страницы со справочными материалами и тренируйтесь только с ними — тогда на экзамене вы будете ориентироваться в них автоматически. Состав материалов стоит сверять с официальным сайтом непосредственно перед экзаменом.