Формулы, которых нет в справочнике НМТ — выучить наизусть
На НМТ по математике участник получает справочные материалы — две страницы формул в конце тестовой тетради. Многие школьники делают из этого неверный вывод: «формулы дадут, учить не надо». На деле справочник закрывает примерно половину того, что нужно на тесте, а остальное приходится вспоминать самому. В Tutor-Math мы каждый год разбираем с выпускниками этот список отдельно — именно на нём теряются баллы, которые можно было не терять. Ниже — разобранный по группам перечень формул, которые нужно знать наизусть, и причины, почему именно их.
Главное о формате. НМТ по математике 2026 содержит 22 задания, максимальный тестовый балл — 32. Это около 2 минут на задание. Справочник в таком темпе — не помощник, а трата времени: пока вы его листаете, сосед уже пишет ответ.
Что в справочнике действительно есть
Сначала честно о том, что вам всё-таки дадут. Справочные материалы УЦОКО содержат таблицу квадратов от 10 до 49, формулу дискриминанта и корней квадратного уравнения, свойства степеней и логарифмов, формулы прогрессий, производные и первообразные, основное тригонометрическое тождество с таблицей значений углов, а из геометрии — теорему Пифагора, теоремы синусов и косинусов, площади основных фигур и формулы объёмов.
Список солидный. Проблема в другом: в нём есть дыры ровно там, где НМТ любит ставить задания. Разберём их по порядку.
Формулы сокращённого умножения: в справочнике только три из семи
Это самый неприятный сюрприз. Справочник содержит ровно три формулы: \(a^2-b^2\), \((a+b)^2\) и \((a-b)^2\). Все четыре формулы с кубами там отсутствуют, а именно они чаще всего нужны для сокращения дробей.
Учите наизусть:
\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\qquad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\]
\[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\qquad (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.\]
Когда применяется: сокращение рациональных дробей, разложение на множители, упрощение выражений с кубами. Микропример: \(1000-1=999=(10-1)(100+10+1)=9\cdot 111\) — это то же \(a^3-b^3\) при \(a=10\), \(b=1\).
Подробный разбор всех семи — в статье о формулах сокращённого умножения.
Теорема Виета: в справочнике её нет вообще
Справочник даёт формулу корней через дискриминант — и на этом всё. Соотношений между корнями и коэффициентами там нет ни одного.
Для уравнения \(ax^2+bx+c=0\) с корнями \(x_1\), \(x_2\):
\[x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}.\]
Когда применяется: устный подбор корней, вычисление симметричных выражений от корней (\(x_1^2+x_2^2\), \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\)), задачи с параметром, мгновенная проверка уже найденных корней. Микропример: в \(x^2-9x+20=0\) ищем два числа с произведением 20 и суммой 9 — это 4 и 5, дискриминант считать не пришлось.
Полный разбор — в статье о теореме Виета.
Степени и корни
Свойства степеней в справочнике есть полностью. А вот корней как отдельного блока нет — они спрятаны в одну строку о дробном показателе \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\). Рабочие свойства приходится восстанавливать самому.
\[\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},\qquad \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\qquad \sqrt{a^2}=|a|.\]
Когда применяется: вынесение множителя из-под корня, освобождение от иррациональности в знаменателе. Микропример: \(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}\).
Основы — в статьях о степени с натуральным показателем, степени с отрицательным показателем и квадратном корне.
Площади фигур: базовые есть, удобные — нет
Здесь ситуация мягче. Справочник даёт \(S=\frac{1}{2}ah\), \(S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma\), формулу Герона, площади параллелограмма, прямоугольника, ромба через диагонали, трапеции и круга. Нет площади квадрата через диагональ, площади сектора и длины дуги.
\[S_{\text{квадрата}}=\frac{d^2}{2},\qquad S_{\text{сектора}}=\frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}.\]
Микропример: квадрат с диагональю 6 имеет площадь \(\frac{36}{2}=18\) — без этой формулы пришлось бы сначала искать сторону \(3\sqrt{2}\).
Разбор формул площади — в статье о площади треугольника.
Тригонометрия прямоугольного треугольника
Основное тождество \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) и определения синуса, косинуса и тангенса через стороны в справочнике есть. Но формул суммы и разности углов \(\sin(\alpha\pm\beta)\) и \(\cos(\alpha\pm\beta)\) там нет.
Главное же другое: тождество нужно знать не «чтобы найти в справочнике», а чтобы применить за секунду. Микропример: если \(\sin\alpha=0{,}6\) и угол острый, то \(\cos\alpha=\sqrt{1-0{,}36}=0{,}8\) — это должно быть рефлексом, а не поиском страницы.
Детали — в статье о тригонометрии прямоугольного треугольника.
Прогрессии: одна формула суммы из двух
Справочник даёт \(a_n=a_1+d(n-1)\) и сумму через крайние члены \(S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\). Второй формулы суммы — через разность — там нет. Нет и суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии, а это регулярный сюжет НМТ.
\[S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n,\qquad S=\frac{b_1}{1-q}\ \text{при}\ |q| < 1.\]
Микропример: сумма \(6+2+\frac{2}{3}+\ldots\) равна \(\frac{6}{1-\frac{1}{3}}=9\).
Подробно — в статьях об арифметической прогрессии и геометрической прогрессии.
Проценты и пропорции: в справочнике нет ничего
Ни одной строки о процентах или пропорциях в справочных материалах не существует. Текстовые задачи на НМТ при этом есть всегда.
\(p\) процентов от числа \(a\) — это \(a\cdot\frac{p}{100}\). Изменение на \(p\) процентов — умножение на \(1\pm\frac{p}{100}\). Основное свойство пропорции: из \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) следует \(ad=bc\).
Микропример: 15 процентов от 240 — это \(240\cdot 0{,}15=36\); из пропорции \(\frac{3}{4}=\frac{x}{20}\) сразу \(4x=60\), \(x=15\).
Практика — в статьях о задачах на проценты и пропорции.
Признаки делимости
Их в справочнике тоже нет — как и алгоритмов НОД и НОК. Это чистая экономия времени: признак делимости превращает перебор в одно действие.
На 2 — последняя цифра чётная. На 3 и на 9 — сумма цифр делится на 3 (на 9). На 4 — две последние цифры образуют число, кратное 4. На 5 — последняя цифра 0 или 5. На 10 — последняя цифра 0.
Микропример: 4728 делится на 12, потому что сумма цифр \(4+7+2+8=21\) кратна 3, а «28» кратно 4.
Полный перечень — в статье о признаках делимости.
Примеры: где без формулы наизусть теряется время или балл
Пример 1. Упростить \(\dfrac{8x^3-27}{4x^2-9}\).
Числитель — разность кубов: \(8x^3-27=(2x)^3-3^3=(2x-3)(4x^2+6x+9)\). Знаменатель — разность квадратов: \(4x^2-9=(2x-3)(2x+3)\). Сокращаем на \((2x-3)\).
Проверка при \(x=5\): исходное выражение равно \(\frac{1000-27}{100-9}=\frac{973}{91}=\frac{139}{13}\); результат равен \(\frac{100+30+9}{13}=\frac{139}{13}\) — совпало.
Ответ: \(\dfrac{4x^2+6x+9}{2x+3}\).
Пример 2. Не решая уравнение \(2x^2-5x-3=0\), найти \(x_1^2+x_2^2\).
По Виета \(x_1+x_2=\frac{5}{2}\), \(x_1x_2=-\frac{3}{2}\). Тогда \(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{25}{4}+3=\frac{37}{4}\).
Контроль: корни уравнения — 3 и \(-\frac{1}{2}\) (подстановка: \(18-15-3=0\) и \(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}-3=0\)). Тогда \(9+\frac{1}{4}=\frac{37}{4}\) — совпало.
Ответ: \(\dfrac{37}{4}=9{,}25\).
Пример 3. Найти все цифры \(x\), при которых число \(\overline{51x2}\) делится на 12.
Число делится на 12, когда делится и на 3, и на 4. Признак 4: две последние цифры \(\overline{x2}\) должны быть кратны 4, то есть 12, 32, 52, 72 или 92 — это \(x\in\{1;3;5;7;9\}\). Признак 3: сумма цифр \(5+1+x+2=8+x\) кратна 3, то есть \(x\in\{1;4;7\}\). Общие значения — 1 и 7.
Проверка: \(5112:12=426\), \(5172:12=431\).
Ответ: \(x=1\) или \(x=7\).
Пример 4. Цену товара повысили на 20 процентов, а через месяц снизили на 20 процентов. Как изменилась цена по сравнению с начальной?
Повышение — умножение на \(1{,}2\), снижение — на \(0{,}8\). Вместе \(1{,}2\cdot 0{,}8=0{,}96\). От 100 грн: \(100\to 120\to 96\).
Второй процент считается уже от новой, большей цены — поэтому «плюс 20 и минус 20» не дают нуля.
Ответ: снизилась на 4 процента.
Пример 5. Представить периодическую дробь \(0{,}(24)\) в виде обыкновенной.
Это сумма бесконечной геометрической прогрессии: \(0{,}24+0{,}0024+\ldots\), где \(b_1=0{,}24\), \(q=0{,}01\). Тогда \(S=\frac{0{,}24}{1-0{,}01}=\frac{0{,}24}{0{,}99}=\frac{24}{99}=\frac{8}{33}\).
Проверка делением: \(8:33=0{,}242424\ldots\)
Ответ: \(\dfrac{8}{33}\).
Пример 6. Вычислить \(\dfrac{\sqrt{12}+\sqrt{27}}{\sqrt{3}}\).
Выносим множители: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\). Числитель равен \(5\sqrt{3}\), поэтому выражение равно \(\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=5\).
Без вынесения множителя пришлось бы считать приближённо — и ответ 5 выглядел бы неубедительно.
Ответ: 5.
Типичные ошибки
- Считать, что в справочнике есть все семь формул сокращённого умножения. Кубов там нет — это самый частый источник ступора при сокращении дробей.
- Искать теорему Виета среди справочных материалов и терять на этом минуту. Её там нет.
- Путать знаки в разложении \(a^3-b^3\): во второй скобке стоит плюс \(ab\), хотя в первой — минус. В сумме кубов наоборот.
- Складывать проценты вместо перемножения коэффициентов. «Плюс 20, потом минус 20» даёт не 0, а минус 4 процента.
- Применять \(S=\frac{b_1}{1-q}\), не проверив условие \(|q| < 1\). При \(|q|\geqslant 1\) сумма не существует.
- Писать \(\sqrt{a^2}=a\) без модуля. Правильно \(\sqrt{a^2}=|a|\) — при отрицательном \(a\) разница принципиальна.
- Рассчитывать на справочник в принципе. Он открывается отдельно, и каждое обращение к нему стоит 20–40 секунд из двух минут на задание.
Вывод
Справочник НМТ — это страховка на случай, когда формула вылетела из головы, а не замена подготовке. Четыре формулы кубов, теорема Виета, свойства корней, сумма бесконечной прогрессии, проценты, пропорции и признаки делимости в нём просто отсутствуют. Остальное выгоднее знать наизусть, чем искать: на 22 задания и 32 балла времени ровно столько, сколько нужно на решение, и ни секунды больше.
Что именно входит в официальные материалы — разобрано в отдельной статье о справочных материалах НМТ. Если вы хотите довести эти формулы до автоматизма и проверить, где именно сейчас провал, запишитесь на пробное занятие — за одну встречу видно, какие группы формул уже работают, а какие нужно закрывать.
Дают ли справочные материалы на НМТ по математике?
Да. Справочные материалы размещены в конце тестовой тетради и содержат таблицу квадратов, часть формул алгебры, тригонометрии и геометрии. Но это не полный набор: значительной части школьных формул там нет, поэтому полагаться только на справочник нельзя.
Какие формулы сокращённого умножения есть в справочнике НМТ?
Только три: разность квадратов, квадрат суммы и квадрат разности. Формулы с кубами — сумма кубов, разность кубов, куб суммы и куб разности — в справочнике отсутствуют, их нужно знать наизусть.
Есть ли в справочнике теорема Виета?
Нет. Справочник содержит формулу дискриминанта и формулу корней квадратного уравнения, но соотношений между корнями и коэффициентами там нет. Теорему Виета нужно выучить.
Сколько заданий и баллов на НМТ по математике 2026?
Тест содержит 22 задания, максимальный тестовый балл — 32. В среднем это около двух минут на задание, поэтому время на листание справочника фактически не заложено.
