Разбор заданий НМТ: числа и выражения
Блок «Числа и выражения» — начало теста и одновременно самый дешёвый источник баллов: всё решается за одну-две минуты, если вы узнали тип задания. И здесь же больше всего досадных потерь — не из-за незнания, а из-за спешки. НМТ по математике 2026 содержит 22 задания и оценивается максимум в 32 балла, так что каждый пункт этого блока — реальный процент итогового результата. Ниже — восемь типовых заданий в формате теста с пошаговым решением и, где он есть, с «быстрым способом». На занятиях в Tutor-Math мы отрабатываем именно такие связки «тип → действие».
Это не задания официального демоварианта, а типовые задания соответствующего блока — составленные в формате НМТ по темам программы.
Задание 1. Действия с обыкновенными и десятичными дробями
Вычислите значение выражения:
\[ \left( \frac{5}{6} - 0{,}25 \right) : \frac{7}{12} \]А) \( \dfrac{1}{2} \) Б) \( \dfrac{7}{12} \) В) \( 1 \) Г) \( \dfrac{12}{7} \) Д) \( 2 \)
Решение. В выражении смешаны обыкновенная и десятичная дроби — переводим всё в один вид. Десятичную в обыкновенную удобнее:
\[ 0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \]Приводим к общему знаменателю 12:
\[ \frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \]Деление на дробь — это умножение на обратную:
\[ \frac{7}{12} : \frac{7}{12} = \frac{7}{12} \cdot \frac{12}{7} = 1 \]Ответ: В) 1.
Быстрый способ. Как только в скобках получилось \( \frac{7}{12} \) — посмотрите на делитель. Это то же самое число, а число, делённое само на себя, равно единице. Авторы тестов часто ставят такую «ловушку симметрии»: тот, кто механически перемножает, тратит ещё 40 секунд и имеет шанс ошибиться. Если переходы между формами дроби ещё не автоматические, вернитесь к статье об обыкновенных дробях.
Задание 2. Проценты: последовательные скидки
Товар стоил 2400 грн. Сначала его цену снизили на 25%, а затем новую цену снизили ещё на 10%. На сколько процентов уменьшилась первоначальная цена товара?
А) 32,5% Б) 35% В) 30% Г) 27,5% Д) 15%
Решение. Скидка на 25% означает, что осталось 75% цены:
\[ 2400 \cdot 0{,}75 = 1800 \text{ (грн)} \]Вторая скидка считается от новой цены, а не от первоначальной — остаётся 90%:
\[ 1800 \cdot 0{,}90 = 1620 \text{ (грн)} \]Цена уменьшилась на \( 2400 - 1620 = 780 \) грн. Переводим в проценты от первоначальной цены:
\[ \frac{780}{2400} \cdot 100\% = 32{,}5\% \]Ответ: А) 32,5%.
Быстрый способ. Последовательные скидки перемножаются коэффициентами, а числа вообще не нужны:
\[ 0{,}75 \cdot 0{,}90 = 0{,}675 \quad \Rightarrow \quad 100\% - 67{,}5\% = 32{,}5\% \]И сразу отбрасывайте вариант Б) 35% — это результат наивного сложения \( 25\% + 10\% \). Именно на него рассчитан дистрактор: последовательные скидки никогда не складываются, суммарная всегда меньше суммы. Подробнее — в разборе задач на проценты.
Задание 3. Пропорция: обратная зависимость
Бригада из 8 рабочих выполняет заказ за 15 дней. За сколько дней выполнит этот же заказ бригада из 12 рабочих, если производительность каждого одинакова?
А) 22,5 Б) 20 В) 12 Г) 10 Д) 9
Решение. Ключевой вопрос: зависимость прямая или обратная? Рабочих больше — дней нужно меньше. Значит, обратная пропорциональность, и произведение величин постоянно:
\[ 8 \cdot 15 = 12 \cdot x \] \[ x = \frac{120}{12} = 10 \text{ (дней)} \]Ответ: Г) 10 дней.
Быстрый способ. Оценка ещё до вычислений. Рабочих стало больше в \( 12 : 8 = 1{,}5 \) раза, значит дней станет меньше ровно в 1,5 раза: \( 15 : 1{,}5 = 10 \). И контроль здравого смысла: ответ обязательно меньше 15, поэтому варианты А) 22,5 и Б) 20 отбрасываются сразу — из пяти остаётся три. О свойствах пропорции — в статье о пропорции.
Задание 4. Степени с отрицательным и нулевым показателем
Вычислите:
\[ \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{-3} - (-5)^{0} \]А) \( -16 \) Б) \( 16 \) В) \( 18 \) Г) \( \dfrac{1}{16} \) Д) \( 14 \)
Решение. Три разных правила в одном выражении — разбираем каждое слагаемое отдельно.
Дробь в отрицательной степени: показатель переворачивает основание.
\[ \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} = 3^{2} = 9 \] \[ \left( \frac{1}{2} \right)^{-3} = 2^{3} = 8 \]Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице, и минус в основании здесь роли не играет:
\[ (-5)^{0} = 1 \]Складываем: \( 9 + 8 - 1 = 16 \).
Ответ: Б) 16.
Быстрый способ. Здесь работает отбрасывание по знаку. Обе степени дают положительные числа, вычитается лишь единица — значит результат положительный и заметно больше единицы. Варианты А) \( -16 \) и Г) \( \frac{1}{16} \) отпадают мгновенно. Главная ловушка блока: отрицательный показатель не делает число отрицательным, он означает обратное значение. Разбор всех случаев — в статье о степени с отрицательным показателем.
Задание 5. Стандартный вид числа
Представьте в стандартном виде значение выражения \( (3{,}2 \cdot 10^{-4}) \cdot (4 \cdot 10^{6}) \).
А) \( 12{,}8 \cdot 10^{2} \) Б) \( 1{,}28 \cdot 10^{3} \) В) \( 1{,}28 \cdot 10^{-3} \) Г) \( 12{,}8 \cdot 10^{-24} \) Д) \( 1{,}28 \cdot 10^{4} \)
Решение. Группируем отдельно мантиссы и отдельно степени десятки:
\[ (3{,}2 \cdot 4) \cdot (10^{-4} \cdot 10^{6}) = 12{,}8 \cdot 10^{2} \]Это ещё не стандартный вид: мантисса должна быть в пределах \( 1 \leqslant a < 10 \), а 12,8 больше 10. Исправляем:
\[ 12{,}8 \cdot 10^{2} = 1{,}28 \cdot 10^{1} \cdot 10^{2} = 1{,}28 \cdot 10^{3} \]Ответ: Б) \( 1{,}28 \cdot 10^{3} \).
Быстрый способ. Сначала смотрите на показатель. Степени при умножении складываются: \( -4 + 6 = 2 \), а мантисса \( 3{,}2 \cdot 4 = 12{,}8 \) выйдет за границу и «съест» ещё единицу степени — значит, итоговый показатель 3. Вариант А) — правильная арифметика, но не стандартный вид: это самая популярная ловушка, ведь число действительно равно ответу. Вариант Г) — след ошибочного умножения показателей вместо сложения.
Задание 6. Признаки делимости
Какую цифру нужно поставить вместо звёздочки в числе \( 5{*}64 \), чтобы полученное число делилось на 36?
А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4 Д) 6
Решение. Прямого признака делимости на 36 не существует, поэтому раскладываем: \( 36 = 4 \cdot 9 \), причём множители 4 и 9 взаимно просты. Значит, число должно делиться и на 4, и на 9 одновременно.
Делимость на 4 определяется двумя последними цифрами: 64 делится на 4 без остатка. Это условие выполняется при любой цифре вместо звёздочки — выбор оно нам не сужает.
Делимость на 9 определяется суммой цифр: \( 5 + {*} + 6 + 4 = 15 + {*} \). Сумма должна делиться на 9. Ближайшее кратное девяти, большее 15, — это 18, поэтому \( {*} = 3 \). Следующее кратное 27 дало бы цифру 12, что невозможно.
Проверка: \( 5364 : 36 = 149 \) — без остатка.
Ответ: В) 3.
Быстрый способ. Не перебирайте все пять вариантов через деление в столбик. Достаточно посчитать сумму известных цифр (15) и прибавить каждый вариант в уме: 16, 17, 18, 19, 21 — на 9 делится только 18. Одно действие вместо пяти делений. Расширенный набор признаков — в материале о признаках делимости.
Задание 7. Квадратные корни
Вычислите \( \sqrt{72} - \sqrt{50} + \sqrt{2} \).
А) \( \sqrt{24} \) Б) \( 2\sqrt{2} \) В) \( 3\sqrt{2} \) Г) \( 2 \) Д) \( \sqrt{2} \)
Решение. Корни не складываются почленно — сначала выносим полные квадраты из-под знака корня, чтобы получить общую «единицу»:
\[ \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \] \[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \]Теперь все три слагаемых содержат \( \sqrt{2} \) — это подобные слагаемые, и работаем с коэффициентами:
\[ 6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + \sqrt{2} = (6 - 5 + 1)\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]Ответ: Б) \( 2\sqrt{2} \).
Быстрый способ. Оценка калькулятором в уме: \( \sqrt{72} \approx 8{,}5 \), \( \sqrt{50} \approx 7{,}1 \), \( \sqrt{2} \approx 1{,}4 \). Вместе примерно \( 8{,}5 - 7{,}1 + 1{,}4 = 2{,}8 \). Варианты Г) 2 и Д) \( \sqrt{2} \approx 1{,}4 \) отпадают, В) \( 3\sqrt{2} \approx 4{,}2 \) тоже. Остаётся Б). Оценка с точностью до десятых решает задание за 20 секунд, даже если вы забыли, как выносить множитель. Техника вынесения — в статье о квадратном корне.
Задание 8. Модуль числа
Вычислите значение выражения \( |2 - \sqrt{5}| + |\sqrt{5} - 3| \).
А) \( 2\sqrt{5} - 5 \) Б) \( 1 \) В) \( 5 - 2\sqrt{5} \) Г) \( -1 \) Д) \( 2\sqrt{5} - 1 \)
Решение. Модуль снимается не автоматически: сначала нужно выяснить знак каждого подмодульного выражения. Опорная оценка: \( \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9} \), то есть \( 2 < \sqrt{5} < 3 \), точнее \( \sqrt{5} \approx 2{,}24 \).
Если \( a \geqslant 0 \), то \( |a| = a \). Если \( a < 0 \), то \( |a| = -a \), то есть выражение под модулем меняет знак на противоположный.
Первый модуль: \( 2 - \sqrt{5} < 0 \), так как \( \sqrt{5} > 2 \). Снимаем со сменой знака:
\[ |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2 \]Второй модуль: \( \sqrt{5} - 3 < 0 \), так как \( \sqrt{5} < 3 \). Аналогично:
\[ |\sqrt{5} - 3| = 3 - \sqrt{5} \]Складываем — корни взаимно уничтожаются:
\[ (\sqrt{5} - 2) + (3 - \sqrt{5}) = 1 \]Ответ: Б) 1.
Быстрый способ. Модуль никогда не бывает отрицательным, а сумма двух модулей — тем более. Вариант Г) \( -1 \) отбрасывается сразу. Вариант В) \( 5 - 2\sqrt{5} \approx 0{,}53 \) — правдоподобен по знаку, но проверяется подстановкой \( \sqrt{5} \approx 2{,}24 \): реальная сумма равна \( 0{,}24 + 0{,}76 = 1 \). Приближённое вычисление здесь быстрее любой алгебры.
Тайм-менеджмент на блоке «Числа и выражения»
Главная стратегическая ошибка — тратить на задания этого блока столько же времени, сколько на геометрию. Они стоят столько же баллов, но должны занимать вдвое меньше времени. Рабочие ориентиры:
- Норматив — до 1,5 минуты на задание. Не уложились за две — ставьте пометку и идите дальше. Вернётесь в конце: часто ответ «дозревает» сам.
- Сначала читайте варианты, потом считайте. Они сами подсказывают метод: все ответы вида \( a\sqrt{2} \) — надо выносить множитель; различаются только степенью десятки — считайте только показатель.
- Оценка вместо точного вычисления. Когда варианты разнесены (задания 7 и 8), достаточно приближённого значения до десятых. Точная алгебра нужна, только если два варианта близки.
- Отбрасывание явно ошибочных. Знак результата, порядок величины, «больше или меньше исходного» — эти три проверки убирают в среднем два дистрактора из четырёх.
- Проверяйте не решение, а перенос. Значительная часть потерянных баллов — верно решённое задание с неправильно отмеченной клеточкой в бланке. Сверяйте номер и букву сразу после каждого ответа.
Разумный порядок прохождения: первый проход — всё, что «видите» сразу; второй — то, что требует выкладок; третий — помеченное. Так вы не оставите нерешённым простое задание из-за того, что застряли на сложном. Полный перечень тем — в материале о темах НМТ 2026.
Типичные ошибки на этом блоке
- Сложение процентов при последовательных изменениях. Две скидки по 25% и 10% дают не 35%, а 32,5%. Вторая всегда считается от уже изменённой величины.
- Отрицательный показатель путают с отрицательным числом. \( 2^{-3} = \frac{1}{8} \), а не \( -8 \). Знак показателя влияет на «переворот», а не на знак результата.
- Мантисса вне диапазона. Запись \( 12{,}8 \cdot 10^{2} \) — правильное число, но не стандартный вид: мантисса должна удовлетворять \( 1 \leqslant a < 10 \).
- Механическое снятие модуля. \( |a - b| \) не равно \( a - b \), пока вы не доказали, что \( a \geqslant b \). Сначала знак, потом скобки.
- Почленное «сложение» корней. \( \sqrt{72} - \sqrt{50} \neq \sqrt{22} \). Складывать можно только подобные слагаемые после вынесения множителей.
- Прямая пропорция вместо обратной. Перед составлением пропорции всегда спрашивайте себя: «больше — это больше или меньше?».
- Делимость на составное число «одним признаком». Для 36 надо проверить и 4, и 9 — отдельно проверенной делимости на 6 или на 9 недостаточно.
Вывод
Блок «Числа и выражения» требует не глубоких знаний, а быстрых рефлексов: увидел тип — применил правило — проверил знак и порядок. Именно здесь строится запас времени для более сложных заданий второй половины теста. Восьми разобранных схем достаточно, чтобы покрыть большинство заданий блока, — остаётся довести их до автоматизма. Чтобы пройти этот путь с поддержкой, запишитесь на пробное занятие: разберём ваш уровень и составим план подготовки.
Сколько заданий по числам и выражениям на НМТ по математике?
Точное количество меняется от варианта к варианту, но задания блока традиционно расположены в начале теста и составляют заметную его часть. Всего НМТ по математике 2026 содержит 22 задания и оценивается максимум в 32 балла, поэтому уверенное прохождение этого блока ощутимо влияет на итоговый результат.
Можно ли пользоваться калькулятором на НМТ по математике?
Нет, калькулятор на тесте запрещён. Именно поэтому навыки устной оценки и приближённых вычислений из заданий 7 и 8 не факультативны, а обязательны: они заменяют калькулятор там, где точный ответ не нужен.
Что делать, если ни один из ответов не совпадает с моим?
В 90% случаев это арифметическая ошибка в одном шаге, а не неверный метод. Проверьте прежде всего знаки и порядок действий, а не переписывайте решение с нуля. Если ваше число близко к одному из вариантов — вероятно, ошибка в последнем преобразовании: например, не доведено до стандартного вида или не вынесен множитель из-под корня.
Сколько времени отводить на задания этого блока?
Ориентир — до 1,5 минуты на задание. Если после двух минут решение не продвигается, помечайте задание и переходите к следующему. Возврат к нему в конце теста почти всегда эффективнее, чем «додавливание» на месте.
