Разбор заданий НМТ: уравнения и неравенства
Уравнения и неравенства — блок, который на НМТ по математике встречается ежегодно и почти всегда даёт несколько «дешёвых» баллов тем, кто отработал технику. Тест 2026 года содержит 22 задания, максимум — 32 балла, поэтому каждое уверенно решённое уравнение заметно двигает результат. Эта статья — не пересказ теории, а практикум: восемь типовых заданий этого блока с пошаговым решением, проверкой корней и быстрыми способами, которые на занятиях в Tutor-Math мы даём ученикам в первую очередь.
Главное правило блока. Корень уравнения — это число, которое при подстановке в исходное уравнение превращает его в верное равенство. Не в преобразованное, не в то, что получилось после умножения на скобку, — именно в исходное. Все посторонние корни ловятся этой одной проверкой.
Задание 1. Линейное уравнение со скобками
Типовое задание этого блока: решите уравнение \(4(x-3)-2(x+1)=6\).
А) \(x=4\) Б) \(x=6\) В) \(x=8\) Г) \(x=10\) Д) \(x=12\)
Шаг 1. Раскрываем скобки, следя за знаком перед второй: \(4x-12-2x-2=6\).
Шаг 2. Приводим подобные слева: \(2x-14=6\).
Шаг 3. Переносим свободный член: \(2x=20\), отсюда \(x=10\).
Проверка. \(4(10-3)-2(10+1)=4\cdot 7-2\cdot 11=28-22=6\) — совпало.
Быстрый способ. В задании с вариантами ответа можно не решать вовсе: подставьте варианты. Здесь даже проще — левая часть растёт с ростом \(x\), поэтому подставляем средний вариант В: \(4\cdot 5-2\cdot 9=2\), мало, значит ответ правее. Дальше остаётся один шаг. Систематика линейных преобразований разобрана в статье про линейные уравнения.
Ответ: Г) \(x=10\).
Задание 2. Квадратное уравнение устно, по теореме Виета
Типовое задание: найдите сумму корней уравнения \(x^2-11x+28=0\).
Шаг 1. Уравнение приведённое (старший коэффициент 1), поэтому по теореме Виета сумма корней равна \(-p=11\), произведение равно \(q=28\).
Шаг 2. Формально ответ уже есть: сумма \(=11\). Но корни стоит подобрать для проверки: два числа с произведением 28 и суммой 11 — это 4 и 7.
Проверка. \(4^2-11\cdot 4+28=16-44+28=0\); \(7^2-11\cdot 7+28=49-77+28=0\). Оба подходят, сумма \(4+7=11\).
Быстрый способ. Он здесь и показан: когда спрашивают сумму или произведение корней, дискриминант считать не нужно — Виет даёт ответ за секунду. Одна оговорка: сначала убедитесь, что корни вообще существуют, то есть \(D\geqslant 0\). Здесь \(D=121-112=9>0\). Подробный разбор — в статье про теорему Виета.
Ответ: 11.
Задание 3. Квадратное уравнение через дискриминант
Типовое задание: решите уравнение \(2x^2-5x-3=0\).
Шаг 1. Коэффициенты: \(a=2\), \(b=-5\), \(c=-3\). Дискриминант \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49\).
Шаг 2. \(\sqrt{D}=7\), поэтому \(x=\dfrac{5\pm 7}{4}\).
Шаг 3. \(x_1=\dfrac{12}{4}=3\), \(x_2=\dfrac{-2}{4}=-0{,}5\).
Проверка. \(2\cdot 3^2-5\cdot 3-3=18-15-3=0\). Для второго: \(2\cdot 0{,}25-5\cdot(-0{,}5)-3=0{,}5+2{,}5-3=0\). Оба корня настоящие.
Быстрый способ. Виет работает и здесь: сумма корней \(-\dfrac{b}{a}=2{,}5\), произведение \(\dfrac{c}{a}=-1{,}5\). Пара \(3\) и \(-0{,}5\) даёт ровно эти числа — это мгновенная проверка уже найденных корней, без повторного счёта дискриминанта.
Ответ: \(x=3\) или \(x=-0{,}5\).
Задание 4. Дробно-рациональное уравнение с ОДЗ
Типовое задание: решите уравнение \(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{5}{x^2-1}=\dfrac{3}{x+1}\).
Шаг 1. ОДЗ — прежде всего остального. Знаменатели: \(x-1\), \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), \(x+1\). Значит \(x\neq 1\) и \(x\neq -1\). Эти два числа запрещены, что бы ни вышло дальше.
Шаг 2. Общий знаменатель — \((x-1)(x+1)\). Умножаем на него обе части:
\[(x+1)+5=3(x-1).\]
Шаг 3. \(x+6=3x-3\), отсюда \(2x=9\), \(x=4{,}5\).
Шаг 4. Сверяем с ОДЗ: \(4{,}5\neq \pm 1\) — корень допустим.
Проверка подстановкой в исходное уравнение. \(x-1=3{,}5\), \(x+1=5{,}5\), \(x^2-1=20{,}25-1=19{,}25\). Левая часть: \(\dfrac{1}{3{,}5}+\dfrac{5}{19{,}25}=\dfrac{2}{7}+\dfrac{20}{77}=\dfrac{22}{77}+\dfrac{20}{77}=\dfrac{42}{77}=\dfrac{6}{11}\). Правая часть: \(\dfrac{3}{5{,}5}=\dfrac{6}{11}\). Равенство выполняется.
Быстрый способ. Выписывайте ОДЗ до решения, а не после. Тогда как только получите число, вы сразу видите, принимать его или выбрасывать, и не тратите время на подстановку в громоздкие дроби. Технику приведения к общему знаменателю подробно разобрали в статье про дробно-рациональные уравнения.
Ответ: \(x=4{,}5\).
Задание 5. Система линейных уравнений
Типовое задание: решите систему и найдите произведение \(xy\).
\[\begin{cases}2x+3y=16,\\ 3x-y=2.\end{cases}\]
А) 2 Б) 4 В) 6 Г) 8 Д) 12
Шаг 1. Из второго уравнения удобно выразить \(y\): \(y=3x-2\).
Шаг 2. Подставляем в первое: \(2x+3(3x-2)=16\), то есть \(2x+9x-6=16\).
Шаг 3. \(11x=22\), отсюда \(x=2\), а тогда \(y=3\cdot 2-2=4\).
Проверка. Подставляем \((2;4)\) в оба уравнения: \(2\cdot 2+3\cdot 4=4+12=16\) — верно; \(3\cdot 2-4=6-4=2\) — верно. Произведение \(xy=2\cdot 4=8\).
Быстрый способ. Метод подстановки быстрее всего тогда, когда в каком-то уравнении есть переменная с коэффициентом \(\pm 1\) — здесь это \(-y\). Если таких нет, выгоднее сложение. О выборе метода — в статье про системы линейных уравнений.
Ответ: Г) 8.
Задание 6. Линейное неравенство с делением на отрицательное число
Типовое задание: решите неравенство \(7-3x\geqslant 1\).
А) \(x\geqslant 2\) Б) \(x\leqslant 2\) В) \(x\geqslant -2\) Г) \(x\leqslant -2\) Д) \(x\leqslant \dfrac{8}{3}\)
Шаг 1. Переносим 7 вправо: \(-3x\geqslant 1-7\), то есть \(-3x\geqslant -6\).
Шаг 2. Делим обе части на \(-3\). Это отрицательное число, поэтому знак неравенства обязательно меняется на противоположный: \(x\leqslant 2\).
Проверка. Берём число из ответа, \(x=2\): \(7-6=1\geqslant 1\) — верно, граница входит. Берём число вне ответа, \(x=3\): \(7-9=-2\), а \(-2\geqslant 1\) ложно — значит, правее двойки решений действительно нет.
Быстрый способ. Чтобы вообще не делить на минус, переносите \(x\) в ту сторону, где его коэффициент станет положительным: \(7-3x\geqslant 1\) равносильно \(7-1\geqslant 3x\), то есть \(6\geqslant 3x\), откуда \(x\leqslant 2\). Тот же результат без всякого риска перепутать знак. Больше о преобразованиях — в статье про неравенства.
Ответ: Б) \(x\leqslant 2\).
Задание 7. Система неравенств
Типовое задание: сколько целых чисел удовлетворяют системе?
\[\begin{cases}2x-1>3,\\ 7-x\geqslant 2.\end{cases}\]
Шаг 1. Первое неравенство: \(2x>4\), то есть \(x>2\). Строгое — двойка не входит.
Шаг 2. Второе: \(-x\geqslant -5\), после деления на \(-1\) знак переворачивается: \(x\leqslant 5\). Пятёрка входит.
Шаг 3. Пересечение промежутков \((2;+\infty)\) и \((-\infty;5]\) — это \((2;5]\).
Шаг 4. Целые числа в этом промежутке: 3, 4, 5. Их три.
Проверка. \(x=3\): \(6-1=5>3\) и \(7-3=4\geqslant 2\) — подходит. \(x=5\): \(10-1=9>3\) и \(7-5=2\geqslant 2\) — подходит, граница рабочая. \(x=2\): \(4-1=3\), но \(3>3\) ложно — не подходит, как и должно быть.
Быстрый способ. Рисуйте оба промежутка на одной числовой прямой — пересечение видно глазами, и вы не перепутаете, где кружок пустой, а где закрашенный. Строгое неравенство — пустой, нестрогое — закрашенный. Подробнее — в статье про системы неравенств.
Ответ: 3 целых числа.
Задание 8. Уравнение с модулем
Типовое задание: найдите сумму корней уравнения \(|3x+1|=x+5\).
Шаг 1. Условие существования. Модуль неотрицателен, поэтому правая часть тоже должна быть неотрицательной: \(x+5\geqslant 0\), то есть \(x\geqslant -5\). Это фильтр для будущих корней.
Шаг 2. Раскрываем модуль двумя случаями.
- Если \(3x+1=x+5\), то \(2x=4\) и \(x=2\).
- Если \(3x+1=-(x+5)\), то \(3x+1=-x-5\), отсюда \(4x=-6\) и \(x=-1{,}5\).
Шаг 3. Оба числа удовлетворяют условию \(x\geqslant -5\), поэтому оба остаются.
Проверка в исходном уравнении. При \(x=2\): \(|3\cdot 2+1|=|7|=7\) и \(2+5=7\) — равенство выполняется. При \(x=-1{,}5\): \(|3\cdot(-1{,}5)+1|=|-3{,}5|=3{,}5\) и \(-1{,}5+5=3{,}5\) — тоже выполняется. Сумма корней: \(2+(-1{,}5)=0{,}5\).
Быстрый способ. Условие \(x+5\geqslant 0\) стоит выписать первым: если какой-то из двух корней ему не удовлетворит, его выбрасывают без всякой подстановки. О природе модуля — в статье про отрицательные числа и модуль.
Ответ: 0,5.
Самые дорогие ошибки этого блока
Две ошибки ниже стоят больше баллов, чем все остальные вместе. Обе не связаны со сложностью — это потеря баллов на технике.
Ошибка первая: посторонний корень в дробном уравнении. Решим \(\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{12}{x^2-4}\). ОДЗ: \(x\neq 2\), \(x\neq -2\). Умножаем на \((x-2)(x+2)\): \(3(x+2)+2(x-2)=12\), то есть \(3x+6+2x-4=12\), отсюда \(5x=10\) и \(x=2\). Но \(x=2\) запрещено ОДЗ — при нём знаменатель \(x-2\) обращается в нуль. Это посторонний корень, порождённый умножением на выражение с переменной. Правильный ответ: корней нет. Ученик, не выписавший ОДЗ, уверенно запишет «2» — и потеряет балл на задании, которое решил правильно.
Ошибка вторая: знак неравенства при делении на отрицательное. В задании 6 деление на \(-3\) переворачивает \(\geqslant\) в \(\leqslant\). Кто этого не сделал, получит \(x\geqslant 2\) — и попадёт в вариант А, который составители теста ставят именно для таких случаев. Проверка одним числом спасает всегда: подставьте любое число из вашего ответа в исходное неравенство. Если вы взяли \(x=3\) и получили \(-2\geqslant 1\), ответ надо перевернуть.
Другие частые потери:
- Потерянный знак при раскрытии скобок после минуса: \(-2(x+1)\) — это \(-2x-2\), а не \(-2x+2\).
- Применение теоремы Виета без проверки \(D\geqslant 0\): у уравнения \(x^2-2x+5=0\) действительных корней нет, поэтому «сумма 2» — бессмыслица.
- Один корень вместо двух в уравнении с модулем: раскрывают только положительный случай и забывают \(-(x+5)\).
- В системе неравенств берут объединение вместо пересечения. Система — это «и», а не «или».
- Ответ не на тот вопрос: нашли \(x\) и \(y\), а просили \(xy\). Перечитывайте последнюю строку условия.
Как тренировать этот блок
Уравнения и неравенства — это техника, а техника ставится повторением однотипных заданий до автоматизма, а не чтением теории. Рабочий режим: 10–15 заданий одного типа подряд, каждый корень подставляете обратно, каждое неравенство проверяете одним числом. Когда тип «звучит в голове» без раздумий — переходите к следующему. Общую картину тем и их веса даёт статья про темы НМТ 2026.
Если ошибки повторяются из недели в неделю и вы не видите, откуда они берутся, — это как раз тот случай, когда взгляд со стороны экономит месяцы. Запишитесь на пробное занятие: разберём ваши реальные ошибки на этом блоке и составим график подготовки под дату теста.
Сколько заданий в НМТ по математике 2026?
Тест содержит 22 задания, максимальный тестовый балл — 32. Задания блока «уравнения и неравенства» встречаются среди них ежегодно и относятся к самым быстрым: большинство решается за одну-две минуты, если техника отработана.
Обязательно ли писать ОДЗ в дробных уравнениях?
Да, и лучше до решения, а не после. Умножение на знаменатель с переменной может породить посторонний корень, который формально получается из уравнения, но обращает знаменатель в нуль. Без ОДЗ вы его не отсеете и запишете неверный ответ.
Когда меняется знак неравенства?
Только в одном случае: при умножении или делении обеих частей на отрицательное число. Сложение, вычитание и умножение на положительное число знак не меняют. Чтобы не рисковать, переносите переменную в ту сторону, где её коэффициент положителен.
Можно ли на тесте просто подставлять варианты ответов?
Можно, и во многих заданиях это быстрее решения. Метод работает, когда вариантов пять и каждый легко проверить подстановкой. Но для заданий с кратким ответом, где вариантов нет, подставлять нечего — технику решения всё равно надо иметь.
