Разбор заданий НМТ: стереометрия
Стереометрия на НМТ по математике — это почти всегда вычисления: дано тело и несколько размеров, нужно найти объём или площадь поверхности. Сложных пространственных построений здесь не спрашивают, поэтому тема полностью закрывается одним компактным набором формул плюс умением подставлять. Напомним: НМТ по математике 2026 содержит 22 задания, максимальный тестовый балл — 32, и каждое задание по стереометрии стоит ровно столько же, сколько любое другое. В Tutor-Math мы отрабатываем этот блок последним — именно потому, что он даёт самый быстрый прирост баллов на единицу времени. Ниже — справочник формул и восемь разобранных заданий в формате теста.
Справочник формул: объём и площадь поверхности
Сначала коротко соберём всё, что понадобится. Везде \(V\) — объём, \(S_{\text{б}}\) — площадь боковой поверхности, \(S\) — площадь полной поверхности.
Призма. \(V = S_{\text{осн}} \cdot H\), где \(H\) — высота. Для прямой призмы \(S_{\text{б}} = P_{\text{осн}} \cdot H\), а полная поверхность \(S = S_{\text{б}} + 2S_{\text{осн}}\).
Прямоугольный параллелепипед со сторонами \(a\), \(b\), \(c\): \(V = abc\), \(S = 2(ab + bc + ac)\). Диагональ: \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\). Куб — частный случай: \(V = a^3\), \(S = 6a^2\).
Пирамида. \(V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H\). Для правильной пирамиды \(S_{\text{б}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l\), где \(l\) — апофема (высота боковой грани).
Цилиндр. \(V = \pi r^2 H\), \(S_{\text{б}} = 2\pi r H\), \(S = 2\pi r H + 2\pi r^2 = 2\pi r(H + r)\).
Конус. \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 H\), \(S_{\text{б}} = \pi r l\), \(S = \pi r l + \pi r^2\), где \(l\) — образующая. Связь размеров: \(l^2 = r^2 + H^2\).
Шар. \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3\), площадь сферы \(S = 4\pi R^2\).
Два замечания, которые экономят время на тесте. Первое: в конусе образующая \(l\) и высота \(H\) — разные отрезки, связанные теоремой Пифагора; в формулу объёма идёт высота, в формулу боковой поверхности — образующая. Второе: \(\pi r^2\) — это площадь круга, поэтому все формулы с круглыми основаниями опираются на тему окружности и круга. Если площадь круга не вспоминается сходу, половина формул этого раздела становится недоступной.
Задание 1. Прямоугольный параллелепипед
Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 6 см, 5 см и 4 см. Найдите его объём и площадь полной поверхности.
Объём — просто произведение трёх измерений:
\[V = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120\ \text{см}^3\]Поверхность состоит из трёх пар одинаковых прямоугольников: \(6\times5\), \(5\times4\) и \(6\times4\).
\[S = 2(6\cdot5 + 5\cdot4 + 6\cdot4) = 2(30 + 20 + 24) = 2 \cdot 74 = 148\ \text{см}^2\]Ответ: \(V = 120\) см³, \(S = 148\) см².
Проверка на правдоподобность. Куб со стороной 5 см имеет объём 125 см³ и поверхность 150 см². Наш параллелепипед «почти куб» со стороной 5, поэтому оба числа должны лежать рядом со 125 и 150 — так и получилось.
Задание 2. Правильная треугольная призма
Сторона основания правильной треугольной призмы равна 4 см, высота призмы — 10 см. Найдите объём и площадь полной поверхности.
Основание — равносторонний треугольник, его площадь \(S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\):
\[S_{\text{осн}} = \frac{4^2\sqrt3}{4} = \frac{16\sqrt3}{4} = 4\sqrt3\ \text{см}^2\] \[V = S_{\text{осн}} \cdot H = 4\sqrt3 \cdot 10 = 40\sqrt3 \approx 69{,}3\ \text{см}^3\]Боковая поверхность — три одинаковых прямоугольника \(4 \times 10\):
\[S_{\text{б}} = P_{\text{осн}} \cdot H = 12 \cdot 10 = 120\ \text{см}^2, \qquad S = 120 + 2\cdot 4\sqrt3 = 120 + 8\sqrt3 \approx 133{,}9\ \text{см}^2\]Ответ: \(V = 40\sqrt3 \approx 69{,}3\) см³, \(S = 120 + 8\sqrt3 \approx 133{,}9\) см².
Проверка. Треугольное основание заметно меньше квадрата \(4\times4\) (площадь 16), а 4√3 ≈ 6,9 — и правда меньше. Объём меньше объёма бруска \(4\times4\times10 = 160\) см³, что логично.
Задание 3. Правильная четырёхугольная пирамида
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см, высота — 4 см. Найдите объём и площадь полной поверхности.
Основание — квадрат: \(S_{\text{осн}} = 36\) см². Объём:
\[V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48\ \text{см}^3\]Для боковой поверхности нужна апофема. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника, в котором один катет — высота пирамиды (4), а второй — половина стороны основания (3). Идём через квадратный корень:
\[l = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\ \text{см}\] \[S_{\text{б}} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60\ \text{см}^2, \qquad S = 60 + 36 = 96\ \text{см}^2\]Ответ: \(V = 48\) см³, \(S = 96\) см².
Проверка. Пирамида составляет треть призмы с тем же основанием и высотой: \(36 \cdot 4 = 144\), треть — 48. Совпало.
Задание 4. Цилиндр
Радиус основания цилиндра равен 3 см, высота — 10 см. Найдите объём и площадь полной поверхности.
\[V = \pi r^2 H = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = 90\pi \approx 282{,}6\ \text{см}^3\]Полная поверхность — боковая плюс два основания:
\[S = 2\pi r H + 2\pi r^2 = 2\pi \cdot 3 \cdot 10 + 2\pi \cdot 9 = 60\pi + 18\pi = 78\pi \approx 244{,}9\ \text{см}^2\]Ответ: \(V = 90\pi \approx 282{,}6\) см³, \(S = 78\pi \approx 244{,}9\) см².
Проверка. Цилиндр вписан в брусок \(6\times6\times10 = 360\) см³. Круг занимает около 78 % площади описанного квадрата, и \(282{,}6 / 360 \approx 0{,}785\) — именно это значение.
Задание 5. Конус
Радиус основания конуса равен 9 см, образующая — 15 см. Найдите объём и площадь полной поверхности.
В условии дана образующая, а для объёма нужна высота. Находим её из \(l^2 = r^2 + H^2\):
\[H = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12\ \text{см}\] \[V = \frac{1}{3}\pi \cdot 81 \cdot 12 = \frac{972}{3}\pi = 324\pi \approx 1017{,}4\ \text{см}^3\] \[S = \pi r l + \pi r^2 = \pi \cdot 9 \cdot 15 + \pi \cdot 81 = 135\pi + 81\pi = 216\pi \approx 678{,}6\ \text{см}^2\]Ответ: \(V = 324\pi \approx 1017{,}4\) см³, \(S = 216\pi \approx 678{,}6\) см².
Проверка. Тройка 9-12-15 — это египетский треугольник 3-4-5, умноженный на 3, значит высота 12 получена верно. Объём конуса должен быть втрое меньше объёма цилиндра тех же размеров: \(\pi \cdot 81 \cdot 12 = 972\pi\), треть — \(324\pi\).
Задание 6. Шар
Радиус шара равен 6 см. Найдите его объём и площадь поверхности.
\[V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi \approx 904{,}3\ \text{см}^3\] \[S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi \approx 452{,}2\ \text{см}^2\]Ответ: \(V = 288\pi \approx 904{,}3\) см³, \(S = 144\pi \approx 452{,}2\) см².
Проверка. Шар вписан в куб с ребром 12, объём куба \(12^3 = 1728\) см³. Шар должен занимать чуть больше половины: \(904{,}3 / 1728 \approx 0{,}52\). Правдоподобно.
Задание 7. Переплавка: объём сохраняется
Металлический шар радиуса 6 см переплавили в сплошной цилиндр, радиус основания которого равен 6 см. Найдите высоту цилиндра.
Вся идея задачи в одном предложении: при переплавке (как и при переливании) объём не меняется, меняется только форма. Поэтому приравниваем объёмы.
\[\frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = \pi \cdot 6^2 \cdot H \;\Longrightarrow\; 288\pi = 36\pi H \;\Longrightarrow\; H = \frac{288}{36} = 8\ \text{см}\]Обратите внимание: \(\pi\) сокращается с обеих сторон, поэтому в таких задачах его обычно даже не приходится умножать. Работа со степенями здесь стандартная — \(6^3 = 216\), \(6^2 = 36\), и полезно держать в голове тему степени с натуральным показателем.
Ответ: \(H = 8\) см.
Проверка. Подставляем обратно: \(\pi \cdot 36 \cdot 8 = 288\pi\) — точно объём исходного шара. Кроме того, высота 8 меньше диаметра шара 12, и это ожидаемо: цилиндр того же радиуса «шире» шара по высоте, поэтому при равном объёме он должен быть ниже.
Задание 8. Переливание: деталь в воде
В цилиндрический сосуд, диаметр которого 20 см, налита вода. После того как в воду полностью погрузили металлическую деталь, уровень воды поднялся на 3 см. Найдите объём детали.
Деталь вытеснила столбик воды — цилиндр с радиусом сосуда и высотой 3 см. Объём этого столбика и есть объём детали. Радиус: \(r = 20 : 2 = 10\) см.
\[V = \pi r^2 h = \pi \cdot 10^2 \cdot 3 = 300\pi \approx 942\ \text{см}^3\]Ответ: \(V = 300\pi \approx 942\) см³.
Проверка. Форма детали никакой роли не играет — важно лишь то, что она погружена полностью. Если бы деталь была железной, она весила бы примерно \(942 \cdot 7{,}8 \approx 7{,}3\) кг: правдоподобно для детали размером с кулак-два.
Задание 9. Комбинация тел
Тело состоит из цилиндра с радиусом основания 3 см и высотой 8 см, на верхнее основание которого поставлен конус с тем же радиусом и высотой 4 см. Найдите объём тела и площадь его поверхности.
Объёмы складываются:
\[V = \pi \cdot 3^2 \cdot 8 + \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 72\pi + 12\pi = 84\pi \approx 263{,}8\ \text{см}^3\]С поверхностью тоньше момент. Верхнее основание цилиндра накрыто конусом — его в поверхность тела не включаем, как и основание конуса. Остаются: нижнее основание цилиндра, боковая поверхность цилиндра и боковая поверхность конуса. Образующая конуса:
\[l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\ \text{см}\] \[S = \pi \cdot 9 + 2\pi \cdot 3 \cdot 8 + \pi \cdot 3 \cdot 5 = 9\pi + 48\pi + 15\pi = 72\pi \approx 226{,}2\ \text{см}^2\]Ответ: \(V = 84\pi \approx 263{,}8\) см³, \(S = 72\pi \approx 226{,}2\) см².
Проверка. Конус должен добавить меньше, чем цилиндр вдвое меньшей высоты: \(12\pi\) против \(36\pi\) — так и есть. Если бы мы ошибочно добавили оба скрытых основания, поверхность выросла бы на \(18\pi\) — это самая частая ошибка в комбинированных телах.
Ловушка «увеличили ребро вдвое»
Самая популярная ловушка стереометрического блока. Формулировка типовая: «ребро куба увеличили вдвое — во сколько раз выросли площадь поверхности и объём?» Соблазнительный ответ «в два раза» неверен для обеих величин.
Правило масштабирования. Если все линейные размеры тела умножить на \(k\), то площадь поверхности вырастет в \(k^2\) раз, а объём — в \(k^3\) раз.
Причина видна прямо из формул: в площадь линейные размеры входят во второй степени, в объём — в третьей. Проверим на числах. Куб с ребром 5 см:
\[V_1 = 5^3 = 125\ \text{см}^3, \qquad S_1 = 6 \cdot 5^2 = 150\ \text{см}^2\]Куб с ребром 10 см:
\[V_2 = 10^3 = 1000\ \text{см}^3, \qquad S_2 = 6 \cdot 10^2 = 600\ \text{см}^2\] \[\frac{S_2}{S_1} = \frac{600}{150} = 4 = 2^2, \qquad \frac{V_2}{V_1} = \frac{1000}{125} = 8 = 2^3\]Ответ: площадь выросла в 4 раза, объём — в 8 раз.
Правило работает для любого тела, не только для куба, и в любую сторону. Если радиус шара увеличить втрое, поверхность вырастет в 9 раз, объём — в 27. Если все размеры уменьшить вдвое (\(k = 0{,}5\)), объём станет в 8 раз меньше. А если размеры увеличить на 50 %, то есть \(k = 1{,}5\), то площадь вырастет в \(1{,}5^2 = 2{,}25\) раза, а объём — в \(1{,}5^3 = 3{,}375\) раза.
Проверка на правдоподобность. Бутылка вдвое более высокой и вдвое более широкой формы вмещает не два литра вместо одного, а восемь. Этот бытовой образ надёжно выручает на тесте.
Типичные ошибки
- Забывают множитель \(\tfrac13\) в пирамиде и конусе. Ответ получается втрое больше. Ориентир: «острое» тело всегда занимает треть соответствующей призмы или цилиндра.
- Путают образующую конуса с высотой. В объём идёт высота \(H\), в боковую поверхность — образующая \(l\). Если в условии дано одно, а нужно другое, сначала теорема Пифагора.
- Путают радиус с диаметром. Условие часто даёт диаметр («сосуд диаметром 20 см»), а формула требует радиус. Ошибка в объёме — в 4 раза.
- Умножают на 2 вместо возведения в квадрат или куб. Та же ловушка масштабирования: \(k^2\) и \(k^3\), а не \(k\).
- В комбинированных телах добавляют скрытые основания. Поверхность — это то, что можно потрогать снаружи. Стык двух тел в поверхность не входит.
- Смешивают единицы. Один размер в метрах, другой в сантиметрах — ответ бессмыслен. И помните: 1 м³ = 1 000 000 см³, а не 100.
- Теряют \(\pi\) или преждевременно округляют. На НМТ ответ чаще ожидают в виде \(90\pi\), чем 282,6. Округляйте только на последнем шаге и только если об этом просят.
Вывод
Стереометрия на НМТ — это блок с предсказуемой механикой: распознать тело, достать из справочника формулу, при необходимости добыть недостающий размер теоремой Пифагора, подставить. Самые ценные два приёма — «объём сохраняется» в задачах на переплавку и переливание и правило масштабирования \(k^2\) / \(k^3\). Они закрывают большинство нестандартных формулировок. И всегда делайте быструю проверку на правдоподобность: сравните результат с описанным кубом или цилиндром — это ловит ошибку в разы ещё до того, как вы перейдёте к следующему заданию.
Если тема «плывёт», обычно дело не в самой стереометрии, а в базе: площадь основания, корни, степени. На пробном занятии Tutor-Math преподаватель за одну встречу определяет, где именно пробел, и строит план под конкретного ученика. Общую картину того, что ещё нужно повторить, даёт разбор тем НМТ 2026, а площади плоских фигур, с которых начинается каждое стереометрическое задание, собраны в статье о площади треугольника.
Сколько заданий по стереометрии будет на НМТ по математике?
Точное количество заранее не знает никто — структура теста фиксирует общие параметры (22 задания, максимум 32 балла), а не распределение по темам в конкретном варианте. На практике стереометрия стабильно присутствует и обычно сводится к вычислению объёма или площади поверхности одного тела. Поэтому выгоднее не считать задания, а довести до автоматизма сам справочник формул: он короткий и закрывает весь блок.
Нужно ли учить формулы наизусть, если есть справочные материалы?
Справочные материалы на НМТ выдают, и базовые формулы объёмов там есть. Но поиск формулы в таблице стоит времени, а времени на тесте мало. Практический компромисс: формулы цилиндра, конуса, шара и пирамиды знать наизусть, а к справочнику обращаться только для проверки. Главное — понимать, какой размер куда подставлять: этого справочник не подскажет.
Почему объём вырастает в 8 раз, а не в 2, когда ребро удвоили?
Потому что объём — трёхмерная величина, и каждое из трёх измерений увеличилось вдвое: \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\). Наглядно: в куб с ребром 10 см помещается ровно восемь кубиков с ребром 5 см — два ряда по четыре. Площадь поверхности при этом двумерна, поэтому растёт в \(2^2 = 4\) раза. Общее правило: коэффициент \(k\) для линейных размеров даёт \(k^2\) для площадей и \(k^3\) для объёмов.
Что делать, если в задаче на переплавку тела совсем разные?
Это ничего не меняет. Приравнивайте объёмы — и всё. Форма может быть любой: шар в цилиндр, конус в куб, брусок в пирамиду. Записываете \(V_1 = V_2\), подставляете обе формулы, сокращаете \(\pi\), если он есть с обеих сторон, и решаете полученное уравнение относительно неизвестного размера. В конце обязательно подставьте найденное число обратно и убедитесь, что объёмы действительно равны.
