Довідкові матеріали НМТ з математики: що дають і чого не дають
Кожен учасник НМТ з математики отримує довідкові матеріали — офіційну добірку формул, доступну прямо під час тесту. Навколо неї виросло два протилежні міфи: «там є все, вчити нічого не треба» і «там немає нічого корисного». Обидва хибні. У Tutor-Math ми починаємо підготовку з того, що відкриваємо реальний довідник і проводимо межу: ось це можна не вчити, а ось це доведеться знати напам'ять, бо його там немає. Нижче — точний склад матеріалів за офіційним демонстраційним варіантом НМТ-2026 та розбір того, де вони рятують, а де марні.
Що це таке. Довідкові матеріали — це три сторінки формул, які Український центр оцінювання якості освіти публікує разом із демонстраційним варіантом і надає учаснику під час тестування в окремій вкладці тестового середовища. Свої шпаргалки приносити не можна: доступний лише цей набір, однаковий для всіх.
Актуальний склад завжди варто звіряти з першоджерелом — офіційним сайтом УЦОЯО testportal.gov.ua, де довідкові матеріали публікуються у складі демонстраційного варіанту. Опис нижче відповідає демонстраційному варіанту НМТ-2026 з математики.
Що саме входить до довідкових матеріалів
Набір складається з таблиці квадратів і двох великих блоків — алгебри та геометрії.
- Таблиця квадратів чисел від 10 до 49.
- Формули скороченого множення — рівно три: \(a^2 - b^2\), \((a+b)^2\), \((a-b)^2\).
- Квадратне рівняння — дискримінант \(D = b^2 - 4ac\), формула коренів, розклад \(ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)\).
- Модуль числа — означення через два випадки.
- Степені — усі базові властивості, включно з \(a^{-n}\) та \(a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\).
- Логарифми — основна тотожність, логарифм добутку, частки, степеня.
- Прогресії — \(a_n\) і \(S_n\) для арифметичної, \(b_n\) і \(S_n\) для геометричної.
- Ймовірність і комбінаторика — \(P(A) = \dfrac{k}{n}\), а також \(P_n = n!\), \(C_n^k\), \(A_n^k\).
- Похідна — таблиця похідних основних функцій і правила для суми, добутку, частки.
- Первісна та інтеграл — таблиця первісних і формула Ньютона-Лейбніца.
- Тригонометрія — основна тотожність, \(\sin 2\alpha\), \(\cos 2\alpha\), кілька формул зведення, одиничне коло і таблиця значень для типових кутів.
- Геометрія — теорема Піфагора, теореми синусів і косинусів, формула Герона, площі трикутника й чотирикутників, довжина кола та площа круга, рівняння кола.
- Стереометрія — об'єми та бічні поверхні призми, піраміди, циліндра, конуса, кулі.
- Координати і вектори — середина відрізка, довжина вектора, скалярний добуток у координатах і через косинус кута.
Це справді немало. Формули площ із теми площа трикутника частково там є, як і формули скороченого множення. Але саме слово «частково» — ключове.
Як користуватися довідником швидко
Головний ресурс на тесті — час, і пошук формули його з'їдає. Три правила, які економлять хвилини:
- Знайте розкладку заздалегідь. Роздрукуйте довідник і працюйте з ним на кожному тренувальному тесті. До іспиту ви маєте пам'ятати не формулу, а її координати: «об'єми — правий нижній кут третьої сторінки».
- Відкривайте довідник уже з готовим планом. Спершу розв'яжіть задачу в голові до рівня «мені потрібна формула об'єму конуса», і лише тоді дивіться. Гортати довідник у пошуках натхнення — найдорожча помилка.
- Не звіряйте те, що знаєте. Якщо ви впевнені в теоремі Піфагора, не перевіряйте її. Довідник — для рідковживаного: Герона, комбінаторики, первісних.
Головне: чого в довіднику НЕМАЄ
Це найцінніша частина розмови. Довідник містить формули, але не містить методів і не містить доброї половини того, що реально питають. Ось найнебезпечніші прогалини.
- Теорема Вієта. Є дискримінант, але немає \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\) і \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Тим часом теорема Вієта — найшвидший спосіб для половини задач про корені.
- Куби. \((a \pm b)^3\), \(a^3 + b^3\), \(a^3 - b^3\) відсутні. У довіднику лише три базові формули скороченого множення.
- Розв'язки тригонометричних рівнянь. Немає ані \(\arcsin\), ані загальних формул коренів \(\sin x = a\), \(\cos x = a\). Одиничне коло є — а що з ним робити, треба знати самому.
- Формули додавання. \(\sin(\alpha \pm \beta)\), \(\cos(\alpha \pm \beta)\), \(\operatorname{tg} 2\alpha\), перехід від суми до добутку — усього цього немає.
- Похідна складеної функції. Правила для суми, добутку й частки є, а \(\left(f(g(x))\right)' = f'(g)\cdot g'\) — ні. Так само немає рівняння дотичної.
- Планіметричні теореми. Вписаний кут, властивості середньої лінії, ознаки подібності, відношення площ подібних фігур, теорема про бісектрису, поділ медіан у відношенні \(2:1\) — жодної з них у довіднику немає.
- Дуга і сектор. Є довжина всього кола \(L = 2\pi R\) і площа круга, але немає довжини дуги та площі сектора.
- Нескінченна геометрична прогресія. Сума \(S = \dfrac{b_1}{1-q}\) при \(|q| < 1\) відсутня.
- Логарифм за новою основою. Формули переходу немає.
Повний розбір цього списку з поясненнями, чому кожна формула критична, — в окремій статті формули поза довідником.
Приклад 1. Довідник рятує: комбінаторика
У магазині 12 білих і 25 червоних троянд. Покупець замовив букет із двох білих троянд і однієї червоної. Скільки всього варіантів такого вибору?
Дві білі з дванадцяти обираємо без урахування порядку — це сполучення. Формула \(C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) є в довіднику:
\[C_{12}^{2} = \frac{12!}{2!\cdot 10!} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66\]Червону обираємо 25 способами. За правилом добутку:
\[66 \cdot 25 = 1650\]Тут довідник закриває всю технічну частину: досить упізнати сполучення й акуратно підставити.
Відповідь: 1650.
Приклад 2. Довідник рятує: скорочення дробу
Спростити \(\dfrac{4x^2 - 25}{(2x-5)^2}\).
У чисельнику — різниця квадратів, і саме ця формула в довіднику є: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Записуємо \(4x^2 = (2x)^2\), \(25 = 5^2\):
\[\frac{4x^2-25}{(2x-5)^2} = \frac{(2x-5)(2x+5)}{(2x-5)^2} = \frac{2x+5}{2x-5}\]Перевірка підстановкою \(x = 1\): вихідний вираз дорівнює \(\dfrac{4-25}{9} = -\dfrac{7}{3}\), спрощений — \(\dfrac{7}{-3} = -\dfrac{7}{3}\). Збіглося.
Відповідь: \(\dfrac{2x+5}{2x-5}\).
Приклад 3. Довідник марний: вписаний кут
На колі вибрано точки \(A\), \(B\), \(C\) так, що \(\angle ACB = 30^\circ\). Довжина меншої дуги \(AB\) дорівнює \(25\pi\) см. Знайти довжину кола.
Відкриваємо довідник — там є \(L = 2\pi R\) і \(S = \pi R^2\). Ні того, ні іншого застосувати не можна, бо радіус невідомий. Потрібні дві речі, яких у довіднику немає:
- вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку він спирається;
- довжина дуги пропорційна її градусній мірі.
З першого: дуга \(AB\) дорівнює \(2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\). Це шоста частина повного кола, бо \(360^\circ : 60^\circ = 6\). Отже, уся довжина кола вшестеро більша за дугу:
\[L = 6 \cdot 25\pi = 150\pi\]Формула \(L = 2\pi R\) у розв'язанні так і не знадобилася. Задача повністю трималася на теоремі, якої в довіднику немає.
Відповідь: \(150\pi\) см.
Приклад 4. Довідник марний: тригонометричне рівняння
Скільки коренів рівняння \(\cos x = 0\) належать проміжку \([0;\, 2\pi]\)?
У довіднику є одиничне коло й таблиця значень. Таблиця дає \(\cos 90^\circ = 0\) — і на цьому допомога вичерпується: таблиця містить лише вісім кутів і не відповідає на питання про кількість коренів на проміжку.
Треба знати, що \(\cos x\) — це абсциса точки на одиничному колі, і нулю вона дорівнює у двох точках: угорі та внизу. Це \(x = \dfrac{\pi}{2}\) і \(x = \dfrac{3\pi}{2}\). Обидва належать \([0;\, 2\pi]\). Загальний запис \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n\) дає при \(n = -1\) значення \(-\dfrac{\pi}{2}\), а при \(n = 2\) — \(\dfrac{5\pi}{2}\); обидва поза проміжком.
Відповідь: два корені.
Приклад 5. Наполовину: об'єм призми
Основа прямої призми — ромб із гострим кутом \(60^\circ\). Площа більшого діагонального перерізу дорівнює \(240\sqrt{3}\), висота призми \(8\sqrt{3}\). Знайти об'єм.
Довідник дає \(V = S_{\text{осн}} \cdot H\) і \(S = ab\sin\gamma\). Але щоб ними скористатися, треба самому знати властивість ромба: діагональ навпроти гострого кута \(60^\circ\) дорівнює стороні \(a\), а більша діагональ дорівнює \(a\sqrt{3}\). Цього в довіднику немає.
Більший діагональний переріз — прямокутник зі сторонами \(a\sqrt{3}\) і \(8\sqrt{3}\):
\[a\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} = 24a = 240\sqrt{3} \;\Rightarrow\; a = 10\sqrt{3}\]Площа основи за формулою з довідника, \(\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\):
\[S_{\text{осн}} = a^2 \sin 60^\circ = 300 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3}\] \[V = 150\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} = 1200 \cdot 3 = 3600\]Довідник закрив дві формули з трьох. Третю — властивість діагоналей ромба — довелося знати.
Відповідь: 3600.
Чому покладатися лише на довідник — помилка
Навіть якби довідник містив усі формули світу, він не розв'язав би головної проблеми. Формула — остання ланка розв'язання, а не перша. Перед нею йдуть побудова моделі задачі, вибір методу, перетворення умови. Довідник не підкаже, що в задачі про драбину треба провести перпендикуляр, що систему нерівностей розв'язують перетином множин, а що текстову задачу зводять до рівняння.
Друга причина — швидкість. НМТ з математики містить 22 завдання, максимум 32 бали, і час обмежений. Учень, який шукає в довіднику навіть половину потрібних формул, не встигає фізично. Довідник має бути страховкою на два-три звернення за весь тест, а не робочим інструментом. Про розподіл часу за типами завдань — у статті про структуру НМТ з математики.
Третя — довідник дає формули, а бали дають за вміння. Тому підготовку будують навколо переліку тем НМТ-2026, де довідник — лише допоміжний матеріал.
Типові помилки
- Побачити довідник уперше на іспиті. Учень витрачає перші хвилини на те, щоб зрозуміти структуру трьох сторінок. Ці хвилини коштують одного-двох завдань.
- Вважати, що тригонометрія «є в довіднику». Там є основна тотожність і кілька формул зведення. Формул додавання, розв'язків рівнянь і половини формул зведення немає.
- Не вивчити теорему Вієта, бо «є дискримінант». Формально так, але через дискримінант задача на цілі корені розв'язується вчетверо довше.
- Плутати бічну і повну поверхню. У довіднику наведено саме \(S_{\text{б}}\). Якщо в задачі питають повну поверхню, треба самому додати площі основ.
- Шукати в довіднику планіметричну теорему. Довідник геометрії — це формули площ та об'ємів. Теорем про кути, подібність і вписані фігури там немає взагалі.
- Плутати площу круга з площею сектора. Задачі на сектор і дугу трапляються регулярно, а цих формул у довіднику немає.
Висновок
Довідкові матеріали НМТ — це добра підстраховка на рідковживані формули: Герона, комбінаторику, первісні, об'єми. Це не заміна знанням. Усе, що стосується методів розв'язання, планіметричних теорем, тригонометричних рівнянь і швидких прийомів на кшталт теореми Вієта, доведеться знати напам'ять. Правильна стратегія проста: вивчити склад довідника, щоб не вчити зайвого, і скласти особистий список того, чого там немає.
Якщо хочете розібратися, які саме прогалини є у вашій підготовці, і побудувати план під них — запишіться на пробне заняття. На ньому ми пройдемося довідником разом і складемо ваш персональний перелік формул для заучування.
Чи можна принести на НМТ власну шпаргалку з формулами?
Ні. Під час тестування доступний лише офіційний набір довідкових матеріалів, однаковий для всіх учасників. Будь-які власні записи, роздруківки чи додаткові матеріали заборонені. Саме тому важливо заздалегідь знати, що в офіційному довіднику є, а чого немає.
Чи є в довідкових матеріалах теорема Вієта?
Немає. У розділі про квадратне рівняння наведено дискримінант, формулу коренів і розклад тричлена на множники, але співвідношень \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\) і \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\) там немає. Теорему Вієта треба знати напам'ять — вона істотно пришвидшує задачі на корені.
Чи є в довіднику формули розв'язання тригонометричних рівнянь?
Немає. Довідник містить основну тригонометричну тотожність, формули подвійного кута, частину формул зведення, одиничне коло і таблицю значень для типових кутів. Загальних формул коренів рівнянь \(\sin x = a\) та \(\cos x = a\), як і формул додавання, у ньому немає.
Де взяти офіційні довідкові матеріали для тренування?
Вони публікуються на сайті Українського центру оцінювання якості освіти testportal.gov.ua разом із демонстраційним варіантом НМТ з математики. Завантажте демоваріант поточного року, роздрукуйте сторінки з довідковими матеріалами й тренуйтеся тільки з ними — тоді на іспиті ви орієнтуватиметеся в них автоматично. Склад матеріалів варто звіряти з офіційним сайтом безпосередньо перед іспитом.
