Розбір завдань НМТ: числа та вирази
Блок «Числа та вирази» — початок тесту й водночас найдешевше джерело балів: усе розв'язується за одну-дві хвилини, якщо ви впізнали тип завдання. І тут же найбільше прикрих втрат — не через незнання, а через поспіх. НМТ з математики 2026 містить 22 завдання й оцінюється максимум у 32 бали, тож кожен пункт цього блоку — реальний відсоток підсумкового результату. Нижче — вісім типових завдань у форматі тесту з покроковим розв'язанням і, де він є, зі «швидким способом». На заняттях у Tutor-Math ми відпрацьовуємо саме такі зв'язки «тип → дія».
Це не завдання офіційного демоваріанта, а типові завдання відповідного блоку — складені у форматі НМТ за темами програми.
Завдання 1. Дії зі звичайними й десятковими дробами
Обчисліть значення виразу:
\[ \left( \frac{5}{6} - 0{,}25 \right) : \frac{7}{12} \]А) \( \dfrac{1}{2} \) Б) \( \dfrac{7}{12} \) В) \( 1 \) Г) \( \dfrac{12}{7} \) Д) \( 2 \)
Розв'язання. У виразі змішані звичайний і десятковий дроби — переводимо все в один вид. Десятковий у звичайний зручніше:
\[ 0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \]Зводимо до спільного знаменника 12:
\[ \frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \]Ділення на дріб — це множення на обернений:
\[ \frac{7}{12} : \frac{7}{12} = \frac{7}{12} \cdot \frac{12}{7} = 1 \]Відповідь: В) 1.
Швидкий спосіб. Щойно в дужках вийшло \( \frac{7}{12} \) — подивіться на дільник. Це те саме число, а число, поділене само на себе, дорівнює одиниці. Автори тестів часто ставлять таку «пастку симетрії»: хто механічно перемножує, витрачає ще 40 секунд і має шанс помилитися. Якщо переходи між формами дробу ще не автоматичні, поверніться до статті про звичайні дроби.
Завдання 2. Відсотки: послідовні знижки
Товар коштував 2400 грн. Спочатку його ціну знизили на 25%, а потім нову ціну знизили ще на 10%. На скільки відсотків зменшилася початкова ціна товару?
А) 32,5% Б) 35% В) 30% Г) 27,5% Д) 15%
Розв'язання. Знижка на 25% означає, що лишилося 75% ціни:
\[ 2400 \cdot 0{,}75 = 1800 \text{ (грн)} \]Друга знижка рахується від нової ціни, а не від початкової — лишається 90%:
\[ 1800 \cdot 0{,}90 = 1620 \text{ (грн)} \]Ціна зменшилася на \( 2400 - 1620 = 780 \) грн. Переводимо у відсотки від початкової ціни:
\[ \frac{780}{2400} \cdot 100\% = 32{,}5\% \]Відповідь: А) 32,5%.
Швидкий спосіб. Послідовні знижки перемножуються коефіцієнтами, а числа взагалі не потрібні:
\[ 0{,}75 \cdot 0{,}90 = 0{,}675 \quad \Rightarrow \quad 100\% - 67{,}5\% = 32{,}5\% \]І одразу відкидайте варіант Б) 35% — це результат наївного додавання \( 25\% + 10\% \). Саме на нього розрахований дистрактор: послідовні знижки ніколи не додаються, сумарна завжди менша за суму. Детальніше — у розборі задач на відсотки.
Завдання 3. Пропорція: обернена залежність
Бригада з 8 робітників виконує замовлення за 15 днів. За скільки днів виконає це саме замовлення бригада з 12 робітників, якщо продуктивність кожного однакова?
А) 22,5 Б) 20 В) 12 Г) 10 Д) 9
Розв'язання. Ключове питання: залежність пряма чи обернена? Робітників більше — днів потрібно менше. Отже, обернена пропорційність, і добуток величин сталий:
\[ 8 \cdot 15 = 12 \cdot x \] \[ x = \frac{120}{12} = 10 \text{ (днів)} \]Відповідь: Г) 10 днів.
Швидкий спосіб. Оцінка ще до обчислень. Робітників стало більше в \( 12 : 8 = 1{,}5 \) раза, отже днів стане менше рівно в 1,5 раза: \( 15 : 1{,}5 = 10 \). І контроль здорового глузду: відповідь обов'язково менша за 15, тому варіанти А) 22,5 і Б) 20 відкидаються одразу — з п'яти лишається три. Про властивості пропорції — у статті про пропорцію.
Завдання 4. Степені з від'ємним і нульовим показником
Обчисліть:
\[ \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{-3} - (-5)^{0} \]А) \( -16 \) Б) \( 16 \) В) \( 18 \) Г) \( \dfrac{1}{16} \) Д) \( 14 \)
Розв'язання. Три різні правила в одному виразі — розбираємо кожен доданок окремо.
Дріб у від'ємному степені: показник перевертає основу.
\[ \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} = 3^{2} = 9 \] \[ \left( \frac{1}{2} \right)^{-3} = 2^{3} = 8 \]Будь-яке ненульове число в нульовому степені дорівнює одиниці, і мінус в основі тут ролі не грає:
\[ (-5)^{0} = 1 \]Складаємо: \( 9 + 8 - 1 = 16 \).
Відповідь: Б) 16.
Швидкий спосіб. Тут працює відкидання за знаком. Обидва степені дають додатні числа, віднімається лише одиниця — значить результат додатний і помітно більший за одиницю. Варіанти А) \( -16 \) і Г) \( \frac{1}{16} \) відпадають миттєво. Головна пастка блоку: від'ємний показник не робить число від'ємним, він означає обернене значення. Розбір усіх випадків — у статті про степінь із від'ємним показником.
Завдання 5. Стандартний вигляд числа
Подайте у стандартному вигляді значення виразу \( (3{,}2 \cdot 10^{-4}) \cdot (4 \cdot 10^{6}) \).
А) \( 12{,}8 \cdot 10^{2} \) Б) \( 1{,}28 \cdot 10^{3} \) В) \( 1{,}28 \cdot 10^{-3} \) Г) \( 12{,}8 \cdot 10^{-24} \) Д) \( 1{,}28 \cdot 10^{4} \)
Розв'язання. Групуємо окремо мантиси й окремо степені десятки:
\[ (3{,}2 \cdot 4) \cdot (10^{-4} \cdot 10^{6}) = 12{,}8 \cdot 10^{2} \]Це ще не стандартний вигляд: мантиса має бути в межах \( 1 \leqslant a < 10 \), а 12,8 більше за 10. Виправляємо:
\[ 12{,}8 \cdot 10^{2} = 1{,}28 \cdot 10^{1} \cdot 10^{2} = 1{,}28 \cdot 10^{3} \]Відповідь: Б) \( 1{,}28 \cdot 10^{3} \).
Швидкий спосіб. Спершу дивіться на показник. Степені при множенні додаються: \( -4 + 6 = 2 \), а мантиса \( 3{,}2 \cdot 4 = 12{,}8 \) вийде за межу і «з'їсть» ще одиницю степеня — отже, підсумковий показник 3. Варіант А) — правильна арифметика, але не стандартний вигляд: це найпопулярніша пастка, бо число справді дорівнює відповіді. Варіант Г) — слід від помилкового множення показників замість додавання.
Завдання 6. Ознаки подільності
Яку цифру потрібно поставити замість зірочки в числі \( 5{*}64 \), щоб отримане число ділилося на 36?
А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4 Д) 6
Розв'язання. Прямої ознаки подільності на 36 не існує, тому розкладаємо: \( 36 = 4 \cdot 9 \), і множники 4 та 9 взаємно прості. Отже, число має ділитися і на 4, і на 9 одночасно.
Подільність на 4 визначається двома останніми цифрами: 64 ділиться на 4 без остачі. Ця умова виконується за будь-якої цифри замість зірочки — вона нам вибір не звужує.
Подільність на 9 визначається сумою цифр: \( 5 + {*} + 6 + 4 = 15 + {*} \). Сума має ділитися на 9. Найближче кратне дев'ятці, більше за 15, — це 18, тому \( {*} = 3 \). Наступне кратне 27 дало б цифру 12, що неможливо.
Перевірка: \( 5364 : 36 = 149 \) — без остачі.
Відповідь: В) 3.
Швидкий спосіб. Не перебирайте всі п'ять варіантів через ділення в стовпчик. Досить порахувати суму відомих цифр (15) і додати кожен варіант у думці: 16, 17, 18, 19, 21 — на 9 ділиться тільки 18. Одна дія замість п'яти ділень. Розширений набір ознак — у матеріалі про ознаки подільності.
Завдання 7. Квадратні корені
Обчисліть \( \sqrt{72} - \sqrt{50} + \sqrt{2} \).
А) \( \sqrt{24} \) Б) \( 2\sqrt{2} \) В) \( 3\sqrt{2} \) Г) \( 2 \) Д) \( \sqrt{2} \)
Розв'язання. Корені не додаються почленно — спочатку виносимо повні квадрати з-під знака кореня, щоб отримати спільну «одиницю»:
\[ \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \] \[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \]Тепер усі три доданки містять \( \sqrt{2} \) — це подібні доданки, і працюємо з коефіцієнтами:
\[ 6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + \sqrt{2} = (6 - 5 + 1)\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]Відповідь: Б) \( 2\sqrt{2} \).
Швидкий спосіб. Оцінка калькулятором у голові: \( \sqrt{72} \approx 8{,}5 \), \( \sqrt{50} \approx 7{,}1 \), \( \sqrt{2} \approx 1{,}4 \). Разом приблизно \( 8{,}5 - 7{,}1 + 1{,}4 = 2{,}8 \). Варіант Г) 2 і Д) \( \sqrt{2} \approx 1{,}4 \) відпадають, В) \( 3\sqrt{2} \approx 4{,}2 \) теж. Лишається Б). Оцінка з точністю до десятих розв'язує завдання за 20 секунд, навіть якщо ви забули, як виносити множник. Техніка винесення — у статті про квадратний корінь.
Завдання 8. Модуль числа
Обчисліть значення виразу \( |2 - \sqrt{5}| + |\sqrt{5} - 3| \).
А) \( 2\sqrt{5} - 5 \) Б) \( 1 \) В) \( 5 - 2\sqrt{5} \) Г) \( -1 \) Д) \( 2\sqrt{5} - 1 \)
Розв'язання. Модуль знімається не автоматично: спершу треба з'ясувати знак кожного підмодульного виразу. Опорна оцінка: \( \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9} \), тобто \( 2 < \sqrt{5} < 3 \), точніше \( \sqrt{5} \approx 2{,}24 \).
Якщо \( a \geqslant 0 \), то \( |a| = a \). Якщо \( a < 0 \), то \( |a| = -a \), тобто вираз під модулем змінює знак на протилежний.
Перший модуль: \( 2 - \sqrt{5} < 0 \), бо \( \sqrt{5} > 2 \). Знімаємо зі зміною знака:
\[ |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2 \]Другий модуль: \( \sqrt{5} - 3 < 0 \), бо \( \sqrt{5} < 3 \). Так само:
\[ |\sqrt{5} - 3| = 3 - \sqrt{5} \]Додаємо — корені взаємно знищуються:
\[ (\sqrt{5} - 2) + (3 - \sqrt{5}) = 1 \]Відповідь: Б) 1.
Швидкий спосіб. Модуль ніколи не буває від'ємним, а сума двох модулів — тим паче. Варіант Г) \( -1 \) відкидається одразу. Варіант В) \( 5 - 2\sqrt{5} \approx 0{,}53 \) — правдоподібний за знаком, але перевіряється підстановкою \( \sqrt{5} \approx 2{,}24 \): реальна сума дорівнює \( 0{,}24 + 0{,}76 = 1 \). Наближене обчислення тут швидше за будь-яку алгебру.
Тайм-менеджмент на блоці «Числа та вирази»
Головна стратегічна помилка — витрачати на завдання цього блоку стільки ж часу, скільки на геометрію. Вони коштують стільки ж балів, але мають зайняти вдвічі менше часу. Робочі орієнтири:
- Норматив — до 1,5 хвилини на завдання. Не вклалися за дві — ставте позначку й ідіть далі. Повернетесь наприкінці: часто відповідь «дозріває» сама.
- Спочатку читайте варіанти, потім рахуйте. Вони самі підказують метод: усі відповіді у вигляді \( a\sqrt{2} \) — треба виносити множник; різняться лише степенем десятки — рахуйте тільки показник.
- Оцінка замість точного обчислення. Коли варіанти рознесені (завдання 7 і 8), вистачає наближеного значення до десятих. Точна алгебра потрібна, лише коли два варіанти близькі.
- Відкидання явно хибних. Знак результату, порядок величини, «більше чи менше за початкове» — ці три перевірки прибирають у середньому два дистрактори з чотирьох.
- Перевіряйте не розв'язання, а перенесення. Значна частина втрачених балів — правильно розв'язане завдання з невірно позначеною клітинкою в бланку. Звіряйте номер і букву одразу після кожної відповіді.
Розумний порядок проходження: перший прохід — усе, що «бачите» одразу; другий — те, що потребує викладок; третій — позначене. Так ви не залишите нерозв'язаним просте завдання через те, що застрягли на складному. Повний перелік тем — у матеріалі про теми НМТ 2026.
Типові помилки на цьому блоці
- Додавання відсотків при послідовних змінах. Дві знижки по 25% і 10% дають не 35%, а 32,5%. Друга завжди рахується від уже зміненої величини.
- Від'ємний показник плутають із від'ємним числом. \( 2^{-3} = \frac{1}{8} \), а не \( -8 \). Знак показника впливає на «переворот», а не на знак результату.
- Мантиса поза межами. Запис \( 12{,}8 \cdot 10^{2} \) — правильне число, але не стандартний вигляд: мантиса має задовольняти \( 1 \leqslant a < 10 \).
- Механічне зняття модуля. \( |a - b| \) не дорівнює \( a - b \), поки ви не довели, що \( a \geqslant b \). Спершу знак, потім дужки.
- Почленне «додавання» коренів. \( \sqrt{72} - \sqrt{50} \neq \sqrt{22} \). Складати можна лише подібні доданки після винесення множників.
- Пряма пропорція замість оберненої. Перед складанням пропорції завжди питайте себе: «більше — це більше чи менше?».
- Подільність на складене число «однією ознакою». Для 36 треба перевірити і 4, і 9 — окремо перевіреної подільності на 6 або на 9 недостатньо.
Висновок
Блок «Числа та вирази» вимагає не глибоких знань, а швидких рефлексів: побачив тип — застосував правило — перевірив знак і порядок. Саме тут будується запас часу для складніших завдань другої половини тесту. Восьми розібраних схем достатньо, щоб покрити більшість завдань блоку, — залишається довести їх до автоматизму. Щоб пройти цей шлях із підтримкою, запишіться на пробне заняття: розберемо ваш рівень і складемо план підготовки.
Скільки завдань з чисел і виразів на НМТ з математики?
Точна кількість змінюється від варіанта до варіанта, але завдання блоку традиційно розташовані на початку тесту й становлять помітну його частину. Загалом НМТ з математики 2026 містить 22 завдання й оцінюється максимум у 32 бали, тож впевнене проходження цього блоку відчутно впливає на підсумковий результат.
Чи можна користуватися калькулятором на НМТ з математики?
Ні, калькулятор на тесті заборонений. Саме тому навички усного оцінювання й наближених обчислень із завдань 7 і 8 не факультативні, а обов'язкові: вони заміняють калькулятор там, де точна відповідь не потрібна.
Що робити, якщо жодна з відповідей не збігається з моєю?
У 90% випадків це арифметична помилка в одному кроці, а не хибний метод. Перевірте передусім знаки й порядок дій, а не переписуйте розв'язання з нуля. Якщо ваше число близьке до одного з варіантів — імовірно, помилка в останньому перетворенні: наприклад, не доведено до стандартного вигляду або не винесено множник з-під кореня.
Скільки часу відводити на завдання цього блоку?
Орієнтир — до 1,5 хвилини на завдання. Якщо після двох хвилин розв'язання не просувається, позначайте завдання й переходьте до наступного. Повернення до нього наприкінці тесту майже завжди ефективніше, ніж «додавлювання» на місці.
