Розбір завдань НМТ: рівняння та нерівності
Рівняння й нерівності — блок, який на НМТ з математики трапляється щороку і майже завжди дає кілька «дешевих» балів тим, хто відпрацював техніку. Тест 2026 року містить 22 завдання, максимум — 32 бали, тож кожне вправно розв'язане рівняння відчутно рухає результат. Ця стаття — не переказ теорії, а практикум: вісім типових завдань цього блоку з покроковим розв'язанням, перевіркою коренів і швидкими способами, які ми на заняттях у Tutor-Math ставимо учням у першу чергу.
Головне правило блоку. Корінь рівняння — це число, яке при підстановці у вихідне рівняння перетворює його на правильну рівність. Не в перетворене, не в те, що вийшло після множення на дужку, — саме у вихідне. Усі сторонні корені ловляться цією однією перевіркою.
Завдання 1. Лінійне рівняння з дужками
Типове завдання цього блоку: розв'яжіть рівняння \(4(x-3)-2(x+1)=6\).
А) \(x=4\) Б) \(x=6\) В) \(x=8\) Г) \(x=10\) Д) \(x=12\)
Крок 1. Розкриваємо дужки, стежачи за знаком перед другою: \(4x-12-2x-2=6\).
Крок 2. Зводимо подібні зліва: \(2x-14=6\).
Крок 3. Переносимо вільний член: \(2x=20\), звідси \(x=10\).
Перевірка. \(4(10-3)-2(10+1)=4\cdot 7-2\cdot 11=28-22=6\) — збіглося.
Швидкий спосіб. У завданні з варіантами відповіді можна не розв'язувати взагалі: підставте варіанти. Тут навіть простіше — ліва частина зростає зі зростанням \(x\), тому підставляємо середній варіант В: \(4\cdot 5-2\cdot 9=2\), замало, отже відповідь правіше. Далі лишається один крок. Систематику лінійних перетворень розібрано в статті про лінійні рівняння.
Відповідь: Г) \(x=10\).
Завдання 2. Квадратне рівняння усно, за теоремою Вієта
Типове завдання: знайдіть суму коренів рівняння \(x^2-11x+28=0\).
Крок 1. Рівняння зведене (старший коефіцієнт 1), тож за теоремою Вієта сума коренів дорівнює \(-p=11\), добуток дорівнює \(q=28\).
Крок 2. Формально відповідь уже є: сума \(=11\). Але корені варто дібрати для перевірки: два числа з добутком 28 і сумою 11 — це 4 і 7.
Перевірка. \(4^2-11\cdot 4+28=16-44+28=0\); \(7^2-11\cdot 7+28=49-77+28=0\). Обидва підходять, сума \(4+7=11\).
Швидкий спосіб. Саме він тут і показаний: коли питають суму або добуток коренів, дискримінант рахувати не треба — Вієта дає відповідь за секунду. Одна засторога: спершу переконайтеся, що корені взагалі існують, тобто \(D\geqslant 0\). Тут \(D=121-112=9>0\). Докладний розбір — у статті про теорему Вієта.
Відповідь: 11.
Завдання 3. Квадратне рівняння через дискримінант
Типове завдання: розв'яжіть рівняння \(2x^2-5x-3=0\).
Крок 1. Коефіцієнти: \(a=2\), \(b=-5\), \(c=-3\). Дискримінант \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49\).
Крок 2. \(\sqrt{D}=7\), тому \(x=\dfrac{5\pm 7}{4}\).
Крок 3. \(x_1=\dfrac{12}{4}=3\), \(x_2=\dfrac{-2}{4}=-0{,}5\).
Перевірка. \(2\cdot 3^2-5\cdot 3-3=18-15-3=0\). Для другого: \(2\cdot 0{,}25-5\cdot(-0{,}5)-3=0{,}5+2{,}5-3=0\). Обидва корені справжні.
Швидкий спосіб. Вієта працює і тут: сума коренів \(-\dfrac{b}{a}=2{,}5\), добуток \(\dfrac{c}{a}=-1{,}5\). Пара \(3\) і \(-0{,}5\) дає рівно ці числа — це миттєва перевірка вже знайдених коренів, без повторного рахунку дискримінанта.
Відповідь: \(x=3\) або \(x=-0{,}5\).
Завдання 4. Дробово-раціональне рівняння з ОДЗ
Типове завдання: розв'яжіть рівняння \(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{5}{x^2-1}=\dfrac{3}{x+1}\).
Крок 1. ОДЗ — до всього іншого. Знаменники: \(x-1\), \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), \(x+1\). Отже \(x\neq 1\) і \(x\neq -1\). Ці два числа заборонені, хай що вийде далі.
Крок 2. Спільний знаменник — \((x-1)(x+1)\). Множимо на нього обидві частини:
\[(x+1)+5=3(x-1).\]
Крок 3. \(x+6=3x-3\), звідси \(2x=9\), \(x=4{,}5\).
Крок 4. Порівнюємо з ОДЗ: \(4{,}5\neq \pm 1\) — корінь допустимий.
Перевірка підстановкою у вихідне рівняння. \(x-1=3{,}5\), \(x+1=5{,}5\), \(x^2-1=20{,}25-1=19{,}25\). Ліва частина: \(\dfrac{1}{3{,}5}+\dfrac{5}{19{,}25}=\dfrac{2}{7}+\dfrac{20}{77}=\dfrac{22}{77}+\dfrac{20}{77}=\dfrac{42}{77}=\dfrac{6}{11}\). Права частина: \(\dfrac{3}{5{,}5}=\dfrac{6}{11}\). Рівність виконується.
Швидкий спосіб. Виписуйте ОДЗ перед розв'язуванням, а не після. Тоді щойно отримаєте число, ви одразу бачите, приймати його чи викидати, і не витрачаєте час на підстановку в громіздкі дроби. Техніку зведення до спільного знаменника детально розібрано у статті про дробово-раціональні рівняння.
Відповідь: \(x=4{,}5\).
Завдання 5. Система лінійних рівнянь
Типове завдання: розв'яжіть систему і знайдіть добуток \(xy\).
\[\begin{cases}2x+3y=16,\\ 3x-y=2.\end{cases}\]
А) 2 Б) 4 В) 6 Г) 8 Д) 12
Крок 1. З другого рівняння зручно виразити \(y\): \(y=3x-2\).
Крок 2. Підставляємо в перше: \(2x+3(3x-2)=16\), тобто \(2x+9x-6=16\).
Крок 3. \(11x=22\), звідси \(x=2\), а тоді \(y=3\cdot 2-2=4\).
Перевірка. Підставляємо \((2;4)\) в обидва рівняння: \(2\cdot 2+3\cdot 4=4+12=16\) — правильно; \(3\cdot 2-4=6-4=2\) — правильно. Добуток \(xy=2\cdot 4=8\).
Швидкий спосіб. Метод підстановки найшвидший тоді, коли в якомусь рівнянні є змінна з коефіцієнтом \(\pm 1\) — тут це \(-y\). Якщо таких немає, вигідніше додавання. Про вибір методу — у статті про системи лінійних рівнянь.
Відповідь: Г) 8.
Завдання 6. Лінійна нерівність із діленням на від'ємне число
Типове завдання: розв'яжіть нерівність \(7-3x\geqslant 1\).
А) \(x\geqslant 2\) Б) \(x\leqslant 2\) В) \(x\geqslant -2\) Г) \(x\leqslant -2\) Д) \(x\leqslant \dfrac{8}{3}\)
Крок 1. Переносимо 7 праворуч: \(-3x\geqslant 1-7\), тобто \(-3x\geqslant -6\).
Крок 2. Ділимо обидві частини на \(-3\). Це від'ємне число, тому знак нерівності обов'язково змінюється на протилежний: \(x\leqslant 2\).
Перевірка. Беремо число з відповіді, \(x=2\): \(7-6=1\geqslant 1\) — правильно, межа входить. Беремо число поза відповіддю, \(x=3\): \(7-9=-2\), а \(-2\geqslant 1\) хибно — отже, праворуч від двійки розв'язків справді немає.
Швидкий спосіб. Щоб узагалі не ділити на мінус, переносьте \(x\) у той бік, де його коефіцієнт стане додатним: \(7-3x\geqslant 1\) рівносильно \(7-1\geqslant 3x\), тобто \(6\geqslant 3x\), звідки \(x\leqslant 2\). Той самий результат без жодного ризику переплутати знак. Більше про перетворення — у статті про нерівності.
Відповідь: Б) \(x\leqslant 2\).
Завдання 7. Система нерівностей
Типове завдання: скільки цілих чисел задовольняють систему?
\[\begin{cases}2x-1>3,\\ 7-x\geqslant 2.\end{cases}\]
Крок 1. Перша нерівність: \(2x>4\), тобто \(x>2\). Строга — двійка не входить.
Крок 2. Друга: \(-x\geqslant -5\), після ділення на \(-1\) знак перевертається: \(x\leqslant 5\). П'ятірка входить.
Крок 3. Перетин проміжків \((2;+\infty)\) і \((-\infty;5]\) — це \((2;5]\).
Крок 4. Цілі числа в цьому проміжку: 3, 4, 5. Їх три.
Перевірка. \(x=3\): \(6-1=5>3\) і \(7-3=4\geqslant 2\) — підходить. \(x=5\): \(10-1=9>3\) і \(7-5=2\geqslant 2\) — підходить, межа робоча. \(x=2\): \(4-1=3\), але \(3>3\) хибно — не підходить, як і мало бути.
Швидкий спосіб. Малюйте обидва проміжки на одній числовій прямій — перетин видно очима, і ви не переплутаєте, де кружечок порожній, а де зафарбований. Строга нерівність — порожній, нестрога — зафарбований. Детальніше — у статті про системи нерівностей.
Відповідь: 3 цілих числа.
Завдання 8. Рівняння з модулем
Типове завдання: знайдіть суму коренів рівняння \(|3x+1|=x+5\).
Крок 1. Умова існування. Модуль невід'ємний, тому права частина теж має бути невід'ємною: \(x+5\geqslant 0\), тобто \(x\geqslant -5\). Це фільтр для майбутніх коренів.
Крок 2. Розкриваємо модуль двома випадками.
- Якщо \(3x+1=x+5\), то \(2x=4\) і \(x=2\).
- Якщо \(3x+1=-(x+5)\), то \(3x+1=-x-5\), звідси \(4x=-6\) і \(x=-1{,}5\).
Крок 3. Обидва числа задовольняють умову \(x\geqslant -5\), тож обидва лишаються.
Перевірка у вихідному рівнянні. При \(x=2\): \(|3\cdot 2+1|=|7|=7\) і \(2+5=7\) — рівність виконується. При \(x=-1{,}5\): \(|3\cdot(-1{,}5)+1|=|-3{,}5|=3{,}5\) і \(-1{,}5+5=3{,}5\) — теж виконується. Сума коренів: \(2+(-1{,}5)=0{,}5\).
Швидкий спосіб. Умову \(x+5\geqslant 0\) варто виписати першою: якщо котрийсь із двох коренів їй не задовольнить, його викидають без жодної підстановки. Про природу модуля — у статті про від'ємні числа та модуль.
Відповідь: 0,5.
Найдорожчі помилки цього блоку
Дві помилки нижче коштують більше балів, ніж усі інші разом. Обидві не пов'язані зі складністю — це втрата балів на техніці.
Помилка перша: сторонній корінь у дробовому рівнянні. Розв'яжемо \(\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{12}{x^2-4}\). ОДЗ: \(x\neq 2\), \(x\neq -2\). Множимо на \((x-2)(x+2)\): \(3(x+2)+2(x-2)=12\), тобто \(3x+6+2x-4=12\), звідси \(5x=10\) і \(x=2\). Але \(x=2\) заборонене ОДЗ — при ньому знаменник \(x-2\) обертається на нуль. Це сторонній корінь, породжений множенням на вираз зі змінною. Правильна відповідь: коренів немає. Учень, який не виписав ОДЗ, упевнено запише «2» — і втратить бал на завданні, яке розв'язав правильно.
Помилка друга: знак нерівності при діленні на від'ємне. У завданні 6 ділення на \(-3\) перевертає \(\geqslant\) на \(\leqslant\). Хто цього не зробив, отримає \(x\geqslant 2\) — і потрапить у варіант А, який укладачі тесту ставлять саме для таких випадків. Перевірка одним числом рятує завжди: підставте будь-яке число з вашої відповіді у вихідну нерівність. Якщо ви взяли \(x=3\) і отримали \(-2\geqslant 1\), відповідь треба перевернути.
Інші часті втрати:
- Загублений знак при розкритті дужок після мінуса: \(-2(x+1)\) — це \(-2x-2\), а не \(-2x+2\).
- Застосування теореми Вієта без перевірки \(D\geqslant 0\): у рівняння \(x^2-2x+5=0\) дійсних коренів немає, тож «сума 2» — беззмістовна.
- Один корінь замість двох у рівнянні з модулем: розкривають лише додатний випадок і забувають \(-(x+5)\).
- У системі нерівностей беруть об'єднання замість перетину. Система — це «і», а не «або».
- Відповідь не на те питання: знайшли \(x\) і \(y\), а просили \(xy\). Перечитуйте останній рядок умови.
Як тренувати цей блок
Рівняння й нерівності — це техніка, а техніка ставиться повторенням однотипних завдань до автоматизму, а не читанням теорії. Робочий режим: 10–15 завдань одного типу поспіль, кожен корінь підставляєте назад, кожну нерівність перевіряєте одним числом. Коли тип «звучить у голові» без роздумів — переходьте до наступного. Загальну картину тем і їхньої ваги дає стаття про теми НМТ 2026.
Якщо помилки повторюються з тижня в тиждень і ви не бачите, звідки вони беруться, — це саме той випадок, коли сторонній погляд економить місяці. Запишіться на пробне заняття: розберемо ваші реальні помилки на цьому блоці й складемо графік підготовки під дату тесту.
Скільки завдань у НМТ з математики 2026?
Тест містить 22 завдання, максимальний тестовий бал — 32. Завдання блоку «рівняння та нерівності» трапляються серед них щороку і належать до найшвидших: більшість розв'язується за одну-дві хвилини, якщо техніка відпрацьована.
Чи обов'язково писати ОДЗ у дробових рівняннях?
Так, і краще до розв'язування, а не після. Множення на знаменник зі змінною може породити сторонній корінь, який формально виходить з рівняння, але перетворює знаменник на нуль. Без ОДЗ ви його не відсієте й запишете неправильну відповідь.
Коли змінюється знак нерівності?
Лише в одному випадку: при множенні або діленні обох частин на від'ємне число. Додавання, віднімання й множення на додатне число знак не змінюють. Щоб не ризикувати, переносьте змінну в той бік, де її коефіцієнт додатний.
Чи можна на тесті просто підставляти варіанти відповідей?
Можна, і в багатьох завданнях це швидше за розв'язування. Метод працює, коли варіантів п'ять і кожен легко перевірити підстановкою. Але для завдань з короткою відповіддю, де варіантів немає, підставляти нема що — техніку розв'язування все одно треба мати.
