Розбір завдань НМТ: стереометрія
Стереометрія на НМТ з математики — це майже завжди обчислення: дано тіло й кілька розмірів, треба знайти об'єм або площу поверхні. Складних просторових побудов тут не питають, тож тема цілком закривається одним компактним набором формул плюс уміння підставляти. Нагадаємо: НМТ з математики 2026 містить 22 завдання, максимальний тестовий бал — 32, і кожне завдання зі стереометрії коштує рівно стільки ж, скільки будь-яке інше. У Tutor-Math ми відпрацьовуємо цей блок останнім — саме тому, що він дає найшвидший приріст балів на одиницю часу. Нижче — довідник формул і вісім розібраних завдань у форматі тесту.
Довідник формул: об'єм і площа поверхні
Спершу коротко зберемо все, що знадобиться. Скрізь \(V\) — об'єм, \(S_{\text{б}}\) — площа бічної поверхні, \(S\) — площа повної поверхні.
Призма. \(V = S_{\text{осн}} \cdot H\), де \(H\) — висота. Для прямої призми \(S_{\text{б}} = P_{\text{осн}} \cdot H\), а повна поверхня \(S = S_{\text{б}} + 2S_{\text{осн}}\).
Прямокутний паралелепіпед зі сторонами \(a\), \(b\), \(c\): \(V = abc\), \(S = 2(ab + bc + ac)\). Діагональ: \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\). Куб — окремий випадок: \(V = a^3\), \(S = 6a^2\).
Піраміда. \(V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H\). Для правильної піраміди \(S_{\text{б}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l\), де \(l\) — апофема (висота бічної грані).
Циліндр. \(V = \pi r^2 H\), \(S_{\text{б}} = 2\pi r H\), \(S = 2\pi r H + 2\pi r^2 = 2\pi r(H + r)\).
Конус. \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 H\), \(S_{\text{б}} = \pi r l\), \(S = \pi r l + \pi r^2\), де \(l\) — твірна. Зв'язок розмірів: \(l^2 = r^2 + H^2\).
Куля. \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3\), площа сфери \(S = 4\pi R^2\).
Два зауваження, які економлять час на тесті. Перше: у конусі твірна \(l\) і висота \(H\) — різні відрізки, зв'язані теоремою Піфагора; у формулу об'єму йде висота, у формулу бічної поверхні — твірна. Друге: \(\pi r^2\) — це площа круга, тож усі формули з круглими основами спираються на тему кола і круга. Якщо площа круга з голови не пригадується, половина формул цього розділу стає недоступною.
Завдання 1. Прямокутний паралелепіпед
Виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 6 см, 5 см і 4 см. Знайдіть його об'єм і площу повної поверхні.
Об'єм — просто добуток трьох вимірів:
\[V = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120\ \text{см}^3\]Поверхня складається з трьох пар однакових прямокутників: \(6\times5\), \(5\times4\) і \(6\times4\).
\[S = 2(6\cdot5 + 5\cdot4 + 6\cdot4) = 2(30 + 20 + 24) = 2 \cdot 74 = 148\ \text{см}^2\]Відповідь: \(V = 120\) см³, \(S = 148\) см².
Перевірка на правдоподібність. Куб зі стороною 5 см має об'єм 125 см³ і поверхню 150 см². Наш паралелепіпед «майже куб» зі стороною 5, тож обидва числа мають лежати поруч зі 125 і 150 — так і вийшло.
Завдання 2. Правильна трикутна призма
Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює 4 см, висота призми — 10 см. Знайдіть об'єм і площу повної поверхні.
Основа — рівносторонній трикутник, його площа \(S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\):
\[S_{\text{осн}} = \frac{4^2\sqrt3}{4} = \frac{16\sqrt3}{4} = 4\sqrt3\ \text{см}^2\] \[V = S_{\text{осн}} \cdot H = 4\sqrt3 \cdot 10 = 40\sqrt3 \approx 69{,}3\ \text{см}^3\]Бічна поверхня — три однакові прямокутники \(4 \times 10\):
\[S_{\text{б}} = P_{\text{осн}} \cdot H = 12 \cdot 10 = 120\ \text{см}^2, \qquad S = 120 + 2\cdot 4\sqrt3 = 120 + 8\sqrt3 \approx 133{,}9\ \text{см}^2\]Відповідь: \(V = 40\sqrt3 \approx 69{,}3\) см³, \(S = 120 + 8\sqrt3 \approx 133{,}9\) см².
Перевірка. Трикутна основа помітно менша за квадрат \(4\times4\) (площа 16), а 4√3 ≈ 6,9 — і справді менше. Об'єм менший за об'єм бруска \(4\times4\times10 = 160\) см³, що логічно.
Завдання 3. Правильна чотирикутна піраміда
Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, висота — 4 см. Знайдіть об'єм і площу повної поверхні.
Основа — квадрат: \(S_{\text{осн}} = 36\) см². Об'єм:
\[V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48\ \text{см}^3\]Для бічної поверхні потрібна апофема. Вона є гіпотенузою прямокутного трикутника, у якому один катет — висота піраміди (4), а другий — половина сторони основи (3). Ідемо через квадратний корінь:
\[l = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\ \text{см}\] \[S_{\text{б}} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60\ \text{см}^2, \qquad S = 60 + 36 = 96\ \text{см}^2\]Відповідь: \(V = 48\) см³, \(S = 96\) см².
Перевірка. Піраміда становить третину призми з тією самою основою й висотою: \(36 \cdot 4 = 144\), третина — 48. Збіглося.
Завдання 4. Циліндр
Радіус основи циліндра дорівнює 3 см, висота — 10 см. Знайдіть об'єм і площу повної поверхні.
\[V = \pi r^2 H = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = 90\pi \approx 282{,}6\ \text{см}^3\]Повна поверхня — бічна плюс дві основи:
\[S = 2\pi r H + 2\pi r^2 = 2\pi \cdot 3 \cdot 10 + 2\pi \cdot 9 = 60\pi + 18\pi = 78\pi \approx 244{,}9\ \text{см}^2\]Відповідь: \(V = 90\pi \approx 282{,}6\) см³, \(S = 78\pi \approx 244{,}9\) см².
Перевірка. Циліндр вписано в брусок \(6\times6\times10 = 360\) см³. Круг займає близько 78 % площі описаного квадрата, і \(282{,}6 / 360 \approx 0{,}785\) — саме те значення.
Завдання 5. Конус
Радіус основи конуса дорівнює 9 см, твірна — 15 см. Знайдіть об'єм і площу повної поверхні.
В умові дано твірну, а для об'єму потрібна висота. Знаходимо її з \(l^2 = r^2 + H^2\):
\[H = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12\ \text{см}\] \[V = \frac{1}{3}\pi \cdot 81 \cdot 12 = \frac{972}{3}\pi = 324\pi \approx 1017{,}4\ \text{см}^3\] \[S = \pi r l + \pi r^2 = \pi \cdot 9 \cdot 15 + \pi \cdot 81 = 135\pi + 81\pi = 216\pi \approx 678{,}6\ \text{см}^2\]Відповідь: \(V = 324\pi \approx 1017{,}4\) см³, \(S = 216\pi \approx 678{,}6\) см².
Перевірка. Трійка 9-12-15 — це єгипетський трикутник 3-4-5, помножений на 3, тож висота 12 отримана правильно. Об'єм конуса має бути втричі меншим за об'єм циліндра тих самих розмірів: \(\pi \cdot 81 \cdot 12 = 972\pi\), третина — \(324\pi\).
Завдання 6. Куля
Радіус кулі дорівнює 6 см. Знайдіть її об'єм і площу поверхні.
\[V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi \approx 904{,}3\ \text{см}^3\] \[S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi \approx 452{,}2\ \text{см}^2\]Відповідь: \(V = 288\pi \approx 904{,}3\) см³, \(S = 144\pi \approx 452{,}2\) см².
Перевірка. Куля вписана в куб з ребром 12, об'єм куба \(12^3 = 1728\) см³. Куля має займати трохи більше за половину: \(904{,}3 / 1728 \approx 0{,}52\). Правдоподібно.
Завдання 7. Переплавлення: об'єм зберігається
Металеву кулю радіуса 6 см переплавили в суцільний циліндр, радіус основи якого дорівнює 6 см. Знайдіть висоту циліндра.
Уся ідея задачі в одному реченні: при переплавленні (як і при переливанні) об'єм не змінюється, змінюється лише форма. Тому прирівнюємо об'єми.
\[\frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = \pi \cdot 6^2 \cdot H \;\Longrightarrow\; 288\pi = 36\pi H \;\Longrightarrow\; H = \frac{288}{36} = 8\ \text{см}\]Зверніть увагу: \(\pi\) скорочується з обох боків, тому в таких задачах його зазвичай навіть не доводиться множити. Робота зі степенями тут стандартна — \(6^3 = 216\), \(6^2 = 36\), і корисно тримати в голові тему степеня з натуральним показником.
Відповідь: \(H = 8\) см.
Перевірка. Підставляємо назад: \(\pi \cdot 36 \cdot 8 = 288\pi\) — точно об'єм вихідної кулі. Крім того, висота 8 менша за діаметр кулі 12, і це очікувано: циліндр того самого радіуса «ширший» за кулю на висоті, тож при рівному об'ємі він має бути нижчим.
Завдання 8. Переливання: деталь у воді
У циліндричну посудину, діаметр якої 20 см, налито воду. Після того як у воду повністю занурили металеву деталь, рівень води піднявся на 3 см. Знайдіть об'єм деталі.
Деталь витіснила стовпчик води — циліндр з радіусом посудини і висотою 3 см. Об'єм цього стовпчика і є об'ємом деталі. Радіус: \(r = 20 : 2 = 10\) см.
\[V = \pi r^2 h = \pi \cdot 10^2 \cdot 3 = 300\pi \approx 942\ \text{см}^3\]Відповідь: \(V = 300\pi \approx 942\) см³.
Перевірка. Форма деталі жодної ролі не грає — важливо лише те, що вона занурена повністю. Якби деталь була залізною, вона важила б приблизно \(942 \cdot 7{,}8 \approx 7{,}3\) кг: правдоподібно для деталі розміром із кулак-два.
Завдання 9. Комбінація тіл
Тіло складається з циліндра з радіусом основи 3 см і висотою 8 см, на верхню основу якого поставлено конус із тим самим радіусом і висотою 4 см. Знайдіть об'єм тіла та площу його поверхні.
Об'єми складаються:
\[V = \pi \cdot 3^2 \cdot 8 + \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 72\pi + 12\pi = 84\pi \approx 263{,}8\ \text{см}^3\]З поверхнею тонший момент. Верхня основа циліндра накрита конусом — її в поверхню тіла не включаємо, як і основу конуса. Лишаються: нижня основа циліндра, бічна поверхня циліндра і бічна поверхня конуса. Твірна конуса:
\[l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\ \text{см}\] \[S = \pi \cdot 9 + 2\pi \cdot 3 \cdot 8 + \pi \cdot 3 \cdot 5 = 9\pi + 48\pi + 15\pi = 72\pi \approx 226{,}2\ \text{см}^2\]Відповідь: \(V = 84\pi \approx 263{,}8\) см³, \(S = 72\pi \approx 226{,}2\) см².
Перевірка. Конус має додати менше, ніж циліндр удвічі меншої висоти: \(12\pi\) проти \(36\pi\) — так і є. Якби ми помилково додали обидві сховані основи, поверхня зросла б на \(18\pi\) — це найчастіша помилка в комбінованих тілах.
Пастка «збільшили ребро вдвічі»
Найпопулярніша пастка стереометричного блоку. Формулювання типове: «ребро куба збільшили вдвічі — у скільки разів зросли площа поверхні та об'єм?» Спокуслива відповідь «у два рази» неправильна для обох величин.
Правило масштабування. Якщо всі лінійні розміри тіла помножити на \(k\), то площа поверхні зросте в \(k^2\) разів, а об'єм — у \(k^3\) разів.
Причина видна прямо з формул: у площу лінійні розміри входять у другому степені, в об'єм — у третьому. Перевіримо на числах. Куб з ребром 5 см:
\[V_1 = 5^3 = 125\ \text{см}^3, \qquad S_1 = 6 \cdot 5^2 = 150\ \text{см}^2\]Куб з ребром 10 см:
\[V_2 = 10^3 = 1000\ \text{см}^3, \qquad S_2 = 6 \cdot 10^2 = 600\ \text{см}^2\] \[\frac{S_2}{S_1} = \frac{600}{150} = 4 = 2^2, \qquad \frac{V_2}{V_1} = \frac{1000}{125} = 8 = 2^3\]Відповідь: площа зросла в 4 рази, об'єм — у 8 разів.
Правило працює для будь-якого тіла, не лише для куба, і в будь-який бік. Якщо радіус кулі збільшити втричі, поверхня зросте в 9 разів, об'єм — у 27. Якщо всі розміри зменшити вдвічі (\(k = 0{,}5\)), об'єм стане у 8 разів меншим. А якщо розміри збільшити на 50 %, тобто \(k = 1{,}5\), то площа зросте в \(1{,}5^2 = 2{,}25\) раза, а об'єм — у \(1{,}5^3 = 3{,}375\) раза.
Перевірка на правдоподібність. Пляшка вдвічі вищої і вдвічі ширшої форми вміщує не два літри замість одного, а вісім. Цей побутовий образ надійно рятує на тесті.
Типові помилки
- Забувають множник \(\tfrac13\) у піраміді й конусі. Відповідь виходить утричі більшою. Орієнтир: «гостре» тіло завжди займає третину відповідної призми чи циліндра.
- Плутають твірну конуса з висотою. В об'єм іде висота \(H\), у бічну поверхню — твірна \(l\). Якщо в умові дано одне, а треба інше, спершу теорема Піфагора.
- Плутають радіус із діаметром. Умова часто дає діаметр («посудина діаметром 20 см»), а формула вимагає радіус. Помилка в об'ємі — у 4 рази.
- Множать на 2 замість піднесення до квадрата чи куба. Та сама пастка масштабування: \(k^2\) і \(k^3\), а не \(k\).
- У комбінованих тілах додають сховані основи. Поверхня — це те, що можна помацати ззовні. Стик двох тіл у поверхню не входить.
- Мішають одиниці. Один вимір у метрах, інший у сантиметрах — відповідь безглузда. І пам'ятайте: 1 м³ = 1 000 000 см³, а не 100.
- Втрачають \(\pi\) або передчасно округлюють. На НМТ відповідь частіше очікують у вигляді \(90\pi\), ніж 282,6. Округлюйте лише в останньому кроці й лише якщо про це просять.
Висновок
Стереометрія на НМТ — це блок із передбачуваною механікою: розпізнати тіло, дістати з довідника формулу, за потреби добути відсутній розмір теоремою Піфагора, підставити. Найцінніші два прийоми — «об'єм зберігається» у задачах на переплавлення й переливання та правило масштабування \(k^2\) / \(k^3\). Вони закривають більшість нестандартних формулювань. І завжди робіть швидку перевірку на правдоподібність: порівняйте результат з описаним кубом чи циліндром — це ловить помилку в рази ще до того, як ви перейдете до наступного завдання.
Якщо тема «пливе», зазвичай справа не в самій стереометрії, а в базі: площа основи, корені, степені. На пробному занятті Tutor-Math викладач за одну зустріч визначає, де саме прогалина, і будує план під конкретного учня. Загальну картину того, що ще треба повторити, дає розбір тем НМТ 2026, а площі плоских фігур, з яких починається кожне стереометричне завдання, зібрані в статті про площу трикутника.
Скільки завдань зі стереометрії буде на НМТ з математики?
Точну кількість наперед не знає ніхто — структура тесту фіксує загальні параметри (22 завдання, максимум 32 бали), а не розподіл по темах у конкретному варіанті. На практиці стереометрія стабільно присутня і зазвичай зводиться до обчислення об'єму або площі поверхні одного тіла. Тому вигідніше не рахувати завдання, а довести до автоматизму сам довідник формул: він короткий і закриває весь блок.
Чи треба вчити формули напам'ять, якщо є довідкові матеріали?
Довідкові матеріали на НМТ видають, і базові формули об'ємів там є. Але пошук формули в таблиці коштує часу, а часу на тесті мало. Практичний компроміс: формули циліндра, конуса, кулі й піраміди знати напам'ять, а до довідника звертатися лише для перевірки. Головне — розуміти, який розмір куди підставляти: цього довідник не підкаже.
Чому об'єм зростає у 8 разів, а не у 2, коли ребро подвоїли?
Тому що об'єм — тривимірна величина, і кожен із трьох вимірів збільшився вдвічі: \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\). Наочно: у куб з ребром 10 см поміщається рівно вісім кубиків з ребром 5 см — два ряди по чотири. Площа поверхні при цьому двовимірна, тож зростає у \(2^2 = 4\) рази. Загальне правило: коефіцієнт \(k\) для лінійних розмірів дає \(k^2\) для площ і \(k^3\) для об'ємів.
Що робити, якщо в задачі на переплавлення тіла зовсім різні?
Це нічого не змінює. Прирівнюйте об'єми — і все. Форма може бути будь-якою: куля в циліндр, конус у куб, брусок у піраміду. Записуєте \(V_1 = V_2\), підставляєте обидві формули, скорочуєте \(\pi\), якщо він є з обох боків, і розв'язуєте отримане рівняння відносно невідомого розміру. Наприкінці обов'язково підставте знайдене число назад і переконайтеся, що об'єми справді рівні.
