Разбор заданий НМТ: планиметрия

Разбор заданий НМТ: планиметрия

Планиметрия — тот блок НМТ, где школьник чаще всего теряет баллы не из-за незнания, а из-за спешки: не дочитал условие, перепутал катет с гипотенузой, подставил диаметр вместо радиуса. Формул здесь немного, и почти все они умещаются на одну страницу. Ниже — восемь типовых заданий в формате теста с пошаговым решением и быстрыми способами, которые экономят минуты. На занятиях в Tutor-Math мы отрабатываем именно такой режим: сначала прикидка, потом точный расчёт.

Формат. НМТ по математике 2026 содержит 22 задания, максимальный тестовый балл — 32. Геометрия разбросана по всему тесту: часть заданий — с выбором одного ответа из пяти (А–Д), часть — на установление соответствия и с кратким ответом.

Формулы, без которых не обойтись

• Теорема Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\).
• Площадь треугольника: \(S = \dfrac{1}{2}ah\) и \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma\).
• Площадь параллелограмма \(S = ah\), ромба \(S = \dfrac{1}{2}d_1 d_2\), трапеции \(S = \dfrac{a+b}{2}\cdot h\).
• Окружность: \(C = 2\pi R\), \(S = \pi R^2\); дуга \(l = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ}\), сектор \(S = \dfrac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}\).
• Теорема косинусов: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\); теорема синусов: \(\dfrac{a}{\sin\alpha} = 2R\).
• Расстояние между точками: \(AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\).

Задание 1. Прямоугольный треугольник: Пифагор и высота

Условие. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, катеты \(AC = 9\) см и \(BC = 12\) см. Найдите длину высоты, проведённой из вершины \(C\) к гипотенузе \(AB\).

А) 6 см  Б) 6,75 см  В) 7,2 см  Г) 7,5 см  Д) 9 см

Шаг 1. По теореме Пифагора находим гипотенузу:

\[ AB = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ см} \]

Шаг 2. Площадь прямоугольного треугольника считаем двумя способами — через катеты и через гипотенузу с высотой к ней:

\[ S = \frac{1}{2}\cdot 9 \cdot 12 = 54 \text{ см}^2, \qquad S = \frac{1}{2}\cdot AB \cdot h = \frac{1}{2}\cdot 15 \cdot h \]

Шаг 3. Приравниваем: \(\dfrac{15h}{2} = 54\), откуда \(h = \dfrac{108}{15} = 7{,}2\) см.

Быстрый способ. Высота к гипотенузе всегда меньше меньшего катета (она — кратчайший отрезок от \(C\) до прямой \(AB\)). Поэтому варианты Г и Д отпадают сразу: \(7{,}5\) и \(9\) не меньше \(9\). Остаются три, а тройка 9–12–15 — это 3·(3–4–5), значит, высота равна \(3 \cdot 2{,}4 = 7{,}2\).

Ответ: В) 7,2 см.

Задание 2. Подобие треугольников

Условие. В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) лежит на стороне \(AB\), точка \(N\) — на стороне \(AC\), причём \(MN \parallel BC\) и \(AM : MB = 2 : 3\). Площадь треугольника \(AMN\) равна 16 см². Найдите площадь треугольника \(ABC\).

А) 40 см²  Б) 64 см²  В) 100 см²  Г) 160 см²  Д) 400 см²

Шаг 1. Поскольку \(MN \parallel BC\), треугольники \(AMN\) и \(ABC\) подобны по двум углам (угол \(A\) общий, углы \(AMN\) и \(ABC\) соответственные при параллельных прямых).

Шаг 2. Коэффициент подобия — это отношение соответственных сторон, а не частей одной стороны:

\[ k = \frac{AM}{AB} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5} \]

Шаг 3. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента:

\[ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = k^2 = \frac{4}{25} \quad\Longrightarrow\quad S_{ABC} = 16 \cdot \frac{25}{4} = 100 \text{ см}^2 \]

Быстрый способ. Малая фигура составляет чуть меньше \(\tfrac{1}{6}\) большой, значит, ответ должен быть в районе \(16 \cdot 6 \approx 96\). Единственный близкий вариант — 100.

Ответ: В) 100 см².

Задание 3. Ромб по диагоналям

Условие. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Найдите периметр ромба и его площадь.

Шаг 1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Поэтому они разбивают ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами 6 см и 8 см.

Шаг 2. Сторона ромба — гипотенуза такого треугольника:

\[ a = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = 10 \text{ см}, \qquad P = 4 \cdot 10 = 40 \text{ см} \]

Шаг 3. Площадь через диагонали:

\[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2}\cdot 12 \cdot 16 = 96 \text{ см}^2 \]

Быстрый способ. Ромб всегда «меньше» прямоугольника со сторонами, равными диагоналям: площадь ровно вдвое меньше \(12 \cdot 16 = 192\). А сторона ромба лежит между половиной большей диагонали (8) и полусуммой половин (14) — 10 в этот коридор попадает.

Ответ: \(P = 40\) см, \(S = 96\) см².

Задание 4. Равнобокая трапеция

Условие. Основания равнобокой трапеции равны 14 см и 8 см, боковая сторона — 5 см. Найдите площадь трапеции.

А) 22 см²  Б) 33 см²  В) 44 см²  Г) 55 см²  Д) 88 см²

Шаг 1. Опустим из вершин меньшего основания две высоты на большее. Они отсекают от большего основания два равных отрезка:

\[ \frac{a-b}{2} = \frac{14-8}{2} = 3 \text{ см} \]

Шаг 2. Образовался прямоугольный треугольник с катетом 3 см и гипотенузой 5 см (боковая сторона). Значит, высота \(h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4\) см.

Шаг 3. Площадь трапеции — произведение полусуммы оснований на высоту:

\[ S = \frac{14+8}{2}\cdot 4 = 11 \cdot 4 = 44 \text{ см}^2 \]

Быстрый способ. Высота не может превышать боковую сторону, то есть \(h \le 5\). Значит, \(S \le 11 \cdot 5 = 55\) — вариант Д (88) невозможен. А «египетский» треугольник 3–4–5 в таких условиях встречается постоянно: увидев 3 и 5, сразу пишите 4.

Ответ: В) 44 см².

Задание 5. Окружность: вписанный угол, дуга и сектор

Условие. Точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на окружности радиуса 6 см. Градусная мера дуги \(AC\), не содержащей точки \(B\), равна \(100^\circ\). Найдите угол \(ABC\) и длину этой дуги.

Шаг 1. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Угол \(ABC\) опирается именно на дугу \(AC\), не содержащую \(B\):

\[ \angle ABC = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ \]

Шаг 2. Длина дуги в \(\alpha\) градусов для окружности радиуса \(R\):

\[ l = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 100}{180} = \frac{10\pi}{3} \approx 10{,}47 \text{ см} \]

Быстрый способ. Вся длина окружности \(C = 2\pi \cdot 6 = 12\pi \approx 37{,}7\) см. Дуга в \(100^\circ\) — это чуть больше четверти окружности, значит, примерно 10 см. Значение \(\tfrac{10\pi}{3}\) точно ложится в эту оценку, а вот ответ вроде \(20\pi\) отбрасывается без вычислений.

Ответ: \(\angle ABC = 50^\circ\), \(l = \dfrac{10\pi}{3}\) см.

Задание 6. Тригонометрия прямоугольного треугольника

Условие. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, гипотенуза \(AB = 20\) см, \(\sin A = 0{,}6\). Найдите катет \(AC\).

А) 8 см  Б) 12 см  В) 15 см  Г) 16 см  Д) 18 см

Шаг 1. Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Против угла \(A\) лежит катет \(BC\):

\[ \sin A = \frac{BC}{AB} \quad\Longrightarrow\quad BC = 20 \cdot 0{,}6 = 12 \text{ см} \]

Шаг 2. Второй катет — по теореме Пифагора: \(AC = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400-144} = \sqrt{256} = 16\) см.

Проверка. \(\cos A = \dfrac{16}{20} = 0{,}8\), и действительно \(0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1\) — основное тригонометрическое тождество выполняется.

Быстрый способ. \(\sin A = 0{,}6\) — это треугольник 3–4–5, увеличенный в 4 раза: 12–16–20. Катет \(AC\) соответствует «четвёрке», то есть 16.

Ответ: Г) 16 см.

Задание 7. Теоремы косинусов и синусов

Условие. В треугольнике \(ABC\) известно: \(AB = 3\) см, \(BC = 5\) см, угол \(B\) равен \(120^\circ\). Найдите сторону \(AC\) и радиус описанной окружности.

Шаг 1. По теореме косинусов, где угол \(B\) лежит между известными сторонами:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2\cdot AB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ \]

Шаг 2. Поскольку \(\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}\), слагаемое меняет знак на плюс:

\[ AC^2 = 9 + 25 - 2\cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) = 34 + 15 = 49 \quad\Longrightarrow\quad AC = 7 \text{ см} \]

Шаг 3. Радиус описанной окружности — по теореме синусов, беря сторону \(AC\) и противолежащий ей угол \(B\):

\[ \frac{AC}{\sin B} = 2R, \qquad \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad\Longrightarrow\quad 2R = \frac{7}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}} \] \[ R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3} \approx 4{,}04 \text{ см} \]

Быстрый способ. Угол \(120^\circ\) тупой, значит, \(AC\) — наибольшая сторона, то есть \(AC > 5\). При этом неравенство треугольника даёт \(AC < 3+5 = 8\). Ответ обязан быть в промежутке от 5 до 8 — семёрка подходит, а, скажем, 4 или 9 отбрасываются без всяких вычислений.

Ответ: \(AC = 7\) см, \(R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\) см.

Задание 8. Координаты на плоскости: параллелограмм

Условие. Три вершины параллелограмма \(ABCD\) имеют координаты \(A(-3;1)\), \(B(1;4)\), \(C(8;4)\). Найдите координаты вершины \(D\), периметр и площадь параллелограмма.

Шаг 1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому середины \(AC\) и \(BD\) совпадают. Отсюда \(D = A + C - B\):

\[ D(-3 + 8 - 1;\; 1 + 4 - 4) = D(4;1) \]

Проверка. Середина \(AC\) — это \(\left(\tfrac{-3+8}{2}; \tfrac{1+4}{2}\right) = (2{,}5;\,2{,}5)\); середина \(BD\) — \(\left(\tfrac{1+4}{2}; \tfrac{4+1}{2}\right) = (2{,}5;\,2{,}5)\). Совпадают.

Шаг 2. Длины сторон по формуле расстояния между точками:

\[ AB = \sqrt{(1+3)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{16+9} = 5, \qquad AD = \sqrt{(4+3)^2 + (1-1)^2} = 7 \] \[ P = 2(5+7) = 24 \]

Шаг 3. Сторона \(AD\) лежит на прямой \(y = 1\), а сторона \(BC\) — на прямой \(y = 4\). Расстояние между ними и есть высота: \(h = 4 - 1 = 3\). Тогда по аналогии с площадью треугольника площадь параллелограмма — произведение основания на высоту:

\[ S = AD \cdot h = 7 \cdot 3 = 21 \]

Ответ: \(D(4;1)\), \(P = 24\), \(S = 21\).

Как проверить ответ без чертежа

На НМТ нет времени чертить точно, а часто и чертить не по чему. Поэтому полезно иметь набор быстрых фильтров — каждый из них отбрасывает заведомо неверный ответ за несколько секунд.

• Неравенство треугольника. Каждая сторона меньше суммы двух других и больше их разности. Если в задаче со сторонами 3 и 5 получилось 9 — решение неверно, ведь \(9 > 3+5\).
• Против большего угла — большая сторона. Если один из углов тупой, противолежащая ему сторона обязательно самая длинная.
• Гипотенуза самая длинная. Катет никогда не бывает больше гипотенузы, а высота к гипотенузе — меньше меньшего катета.
• Порядок величины площади. Любой треугольник со сторонами \(a\) и \(b\) имеет площадь \(S \le \tfrac{1}{2}ab\) (равенство только при прямом угле). Параллелограмм: \(S \le ab\). Получили больше — ищите ошибку.
• Сумма углов. В треугольнике \(180^\circ\), в четырёхугольнике \(360^\circ\). Ни один внутренний угол выпуклого многоугольника не превышает \(180^\circ\).
• Границы синуса и косинуса. \(|\sin\alpha| \le 1\) и \(|\cos\alpha| \le 1\). Значение \(\sin A = 1{,}2\) означает арифметическую ошибку, а не «особый треугольник».
• Средняя линия трапеции всегда лежит между основаниями: \(b < m < a\).
• Круг и квадрат. Площадь круга радиуса \(R\) чуть больше 3\(R^2\) и меньше \(4R^2\) — площади описанного квадрата.

Типичные ошибки

• Радиус вместо диаметра. В условии дан \(d = 12\), ученик подставляет 12 в \(S = \pi R^2\) и получает вчетверо большую площадь.
• Коэффициент подобия от «не той» пары. Из \(AM:MB = 2:3\) делают \(k = \tfrac{2}{3}\) вместо \(k = \tfrac{2}{5}\). Коэффициент — это всегда отношение соответственных сторон целых треугольников.
• Площади подобных фигур умножают на \(k\), а не на \(k^2\). Самая дорогая ошибка темы.
• Вся разность оснований вместо половины. В равнобокой трапеции в прямоугольный треугольник идёт \(\tfrac{a-b}{2}\), а в прямоугольной — вся разность \(a-b\).
• Знак в теореме косинусов. Для тупого угла \(\cos\gamma < 0\), и формула фактически даёт сложение. Механическое вычитание даёт заниженную сторону.
• Вписанный угол приравнивают к дуге. Он равен половине дуги; центральный — всей дуге.
• Путаница синуса и косинуса. Синус — противолежащий катет к гипотенузе, косинус — прилежащий. Помогает правило: «косинус — тот, у которого сторона рядом с углом».
• Единицы. Площадь — в квадратных единицах. Если в условии сантиметры, а в вариантах м², ответ нужно переводить.

Вывод

Планиметрия на НМТ строится на десятке формул и трёх привычках: аккуратно читать конфигурацию, достраивать прямоугольный треугольник и проверять ответ на правдоподобность. Если эти восемь типов заданий решаются уверенно, геометрический блок теста закрыт. Полный перечень того, что ещё стоит повторить, собран в материале темы НМТ 2026. А если хочется разобрать собственные сложные места с преподавателем — запишитесь на пробное занятие.

Сколько заданий по геометрии на НМТ по математике?

Тест 2026 года содержит 22 задания, максимальный балл — 32. Геометрия не выделена в отдельный блок: планиметрические и стереометрические задания разбросаны по всему тесту, поэтому готовиться к ним нужно наравне с алгеброй.

Дают ли на НМТ формулы по планиметрии?

Справочные материалы содержат базовые формулы площадей и теоремы косинусов и синусов, но полагаться только на них не стоит: поиск формулы в справочнике съедает время. Свойства вписанных углов, признаки подобия и соотношения в прямоугольном треугольнике нужно знать наизусть.

Что делать, если к задаче нет чертежа?

Чертите сами — от руки, не в масштабе, но с правильным взаимным расположением элементов. Отмечайте на схеме все известные величины сразу после прочтения условия. Дальше проверяйте полученный ответ фильтрами правдоподобности: неравенство треугольника, гипотенуза самая длинная, площадь не больше половины произведения сторон.

Как быстро отбрасывать варианты ответов?

Оценивайте порядок величины до вычислений. Например, если треугольник со сторонами 3 и 5, то третья сторона гарантированно в пределах от 2 до 8, а площадь — не больше 7,5. Часто из пяти вариантов остаётся один-два, и точное вычисление нужно лишь для контроля.