Розбір завдань НМТ: планіметрія

Розбір завдань НМТ: планіметрія

Планіметрія — той блок НМТ, де школяр найчастіше втрачає бали не через незнання, а через поспіх: не дочитав умову, переплутав катет із гіпотенузою, підставив діаметр замість радіуса. Формул тут небагато, і майже всі вони вміщаються на одну сторінку. Нижче — вісім типових завдань у форматі тесту з покроковим розв'язанням і швидкими способами, які економлять хвилини. На заняттях у Tutor-Math ми відпрацьовуємо саме цей режим: спочатку прикидка, потім точний розрахунок.

Формат. НМТ з математики 2026 містить 22 завдання, максимальний тестовий бал — 32. Геометрія розкидана по всьому тесту: частина завдань — з вибором однієї відповіді з п'яти (А–Д), частина — на встановлення відповідності та з короткою відповіддю.

Формули, без яких не обійтися

• Теорема Піфагора: \(c^2 = a^2 + b^2\).
• Площа трикутника: \(S = \dfrac{1}{2}ah\) і \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma\).
• Площа паралелограма \(S = ah\), ромба \(S = \dfrac{1}{2}d_1 d_2\), трапеції \(S = \dfrac{a+b}{2}\cdot h\).
• Коло: \(C = 2\pi R\), \(S = \pi R^2\); дуга \(l = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ}\), сектор \(S = \dfrac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}\).
• Теорема косинусів: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\); теорема синусів: \(\dfrac{a}{\sin\alpha} = 2R\).
• Відстань між точками: \(AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\).

Завдання 1. Прямокутний трикутник: Піфагор і висота

Умова. У трикутнику \(ABC\) кут \(C\) прямий, катети \(AC = 9\) см і \(BC = 12\) см. Знайдіть довжину висоти, проведеної з вершини \(C\) до гіпотенузи \(AB\).

А) 6 см  Б) 6,75 см  В) 7,2 см  Г) 7,5 см  Д) 9 см

Крок 1. За теоремою Піфагора знаходимо гіпотенузу:

\[ AB = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ см} \]

Крок 2. Площу прямокутного трикутника рахуємо двома способами — через катети і через гіпотенузу з висотою до неї:

\[ S = \frac{1}{2}\cdot 9 \cdot 12 = 54 \text{ см}^2, \qquad S = \frac{1}{2}\cdot AB \cdot h = \frac{1}{2}\cdot 15 \cdot h \]

Крок 3. Прирівнюємо: \(\dfrac{15h}{2} = 54\), звідки \(h = \dfrac{108}{15} = 7{,}2\) см.

Швидкий спосіб. Висота до гіпотенузи завжди менша за менший катет (вона — найкоротший відрізок від \(C\) до прямої \(AB\)). Тому варіанти Г і Д відпадають одразу: \(7{,}5\) і \(9\) не менші за \(9\). Залишаються три, а трійка 9–12–15 — це 3·(3–4–5), тож висота дорівнює \(3 \cdot 2{,}4 = 7{,}2\).

Відповідь: В) 7,2 см.

Завдання 2. Подібність трикутників

Умова. У трикутнику \(ABC\) точка \(M\) лежить на стороні \(AB\), точка \(N\) — на стороні \(AC\), причому \(MN \parallel BC\) і \(AM : MB = 2 : 3\). Площа трикутника \(AMN\) дорівнює 16 см². Знайдіть площу трикутника \(ABC\).

А) 40 см²  Б) 64 см²  В) 100 см²  Г) 160 см²  Д) 400 см²

Крок 1. Оскільки \(MN \parallel BC\), трикутники \(AMN\) і \(ABC\) подібні за двома кутами (кут \(A\) спільний, кути \(AMN\) і \(ABC\) відповідні при паралельних прямих).

Крок 2. Коефіцієнт подібності — це відношення відповідних сторін, а не частин однієї сторони:

\[ k = \frac{AM}{AB} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5} \]

Крок 3. Площі подібних трикутників відносяться як квадрат коефіцієнта:

\[ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = k^2 = \frac{4}{25} \quad\Longrightarrow\quad S_{ABC} = 16 \cdot \frac{25}{4} = 100 \text{ см}^2 \]

Швидкий спосіб. Мала фігура становить трохи менше \(\tfrac{1}{6}\) великої, отже, відповідь має бути в районі \(16 \cdot 6 \approx 96\). Єдиний близький варіант — 100.

Відповідь: В) 100 см².

Завдання 3. Ромб за діагоналями

Умова. Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 16 см. Знайдіть периметр ромба та його площу.

Крок 1. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і в точці перетину діляться навпіл. Тому вони розбивають ромб на чотири рівні прямокутні трикутники з катетами 6 см і 8 см.

Крок 2. Сторона ромба — гіпотенуза такого трикутника:

\[ a = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = 10 \text{ см}, \qquad P = 4 \cdot 10 = 40 \text{ см} \]

Крок 3. Площа через діагоналі:

\[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2}\cdot 12 \cdot 16 = 96 \text{ см}^2 \]

Швидкий спосіб. Ромб завжди «менший» за прямокутник зі сторонами, рівними діагоналям: площа рівно вдвічі менша за \(12 \cdot 16 = 192\). А сторона ромба лежить між половиною більшої діагоналі (8) і півсумою половин (14) — 10 у цей коридор потрапляє.

Відповідь: \(P = 40\) см, \(S = 96\) см².

Завдання 4. Рівнобічна трапеція

Умова. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 14 см і 8 см, бічна сторона — 5 см. Знайдіть площу трапеції.

А) 22 см²  Б) 33 см²  В) 44 см²  Г) 55 см²  Д) 88 см²

Крок 1. Опустимо з вершин меншої основи дві висоти на більшу. Вони відтинають від більшої основи два рівні відрізки:

\[ \frac{a-b}{2} = \frac{14-8}{2} = 3 \text{ см} \]

Крок 2. Утворився прямокутний трикутник з катетом 3 см і гіпотенузою 5 см (бічна сторона). Отже, висота \(h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4\) см.

Крок 3. Площа трапеції — добуток півсуми основ на висоту:

\[ S = \frac{14+8}{2}\cdot 4 = 11 \cdot 4 = 44 \text{ см}^2 \]

Швидкий спосіб. Висота не може перевищувати бічну сторону, тобто \(h \le 5\). Значить, \(S \le 11 \cdot 5 = 55\) — варіант Д (88) неможливий. А «єгипетський» трикутник 3–4–5 у таких умовах зустрічається постійно: побачивши 3 і 5, одразу пишіть 4.

Відповідь: В) 44 см².

Завдання 5. Коло: вписаний кут, дуга і сектор

Умова. Точки \(A\), \(B\), \(C\) лежать на колі радіуса 6 см. Градусна міра дуги \(AC\), що не містить точки \(B\), дорівнює \(100^\circ\). Знайдіть кут \(ABC\) і довжину цієї дуги.

Крок 1. Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається. Кут \(ABC\) спирається саме на дугу \(AC\), що не містить \(B\):

\[ \angle ABC = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ \]

Крок 2. Довжина дуги в \(\alpha\) градусів для кола радіуса \(R\):

\[ l = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 100}{180} = \frac{10\pi}{3} \approx 10{,}47 \text{ см} \]

Швидкий спосіб. Уся довжина кола \(C = 2\pi \cdot 6 = 12\pi \approx 37{,}7\) см. Дуга в \(100^\circ\) — це трохи більше чверті кола, отже, приблизно 10 см. Значення \(\tfrac{10\pi}{3}\) точно лягає в цю оцінку, а от відповідь на кшталт \(20\pi\) відкидається без обчислень.

Відповідь: \(\angle ABC = 50^\circ\), \(l = \dfrac{10\pi}{3}\) см.

Завдання 6. Тригонометрія прямокутного трикутника

Умова. У трикутнику \(ABC\) кут \(C\) прямий, гіпотенуза \(AB = 20\) см, \(\sin A = 0{,}6\). Знайдіть катет \(AC\).

А) 8 см  Б) 12 см  В) 15 см  Г) 16 см  Д) 18 см

Крок 1. Синус гострого кута — відношення протилежного катета до гіпотенузи. Проти кута \(A\) лежить катет \(BC\):

\[ \sin A = \frac{BC}{AB} \quad\Longrightarrow\quad BC = 20 \cdot 0{,}6 = 12 \text{ см} \]

Крок 2. Другий катет — за теоремою Піфагора: \(AC = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400-144} = \sqrt{256} = 16\) см.

Перевірка. \(\cos A = \dfrac{16}{20} = 0{,}8\), і справді \(0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1\) — основна тригонометрична тотожність виконується.

Швидкий спосіб. \(\sin A = 0{,}6\) — це трикутник 3–4–5, збільшений у 4 рази: 12–16–20. Катет \(AC\) відповідає «четвірці», тобто 16.

Відповідь: Г) 16 см.

Завдання 7. Теореми косинусів і синусів

Умова. У трикутнику \(ABC\) відомо: \(AB = 3\) см, \(BC = 5\) см, кут \(B\) дорівнює \(120^\circ\). Знайдіть сторону \(AC\) і радіус описаного кола.

Крок 1. За теоремою косинусів, де кут \(B\) лежить між відомими сторонами:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2\cdot AB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ \]

Крок 2. Оскільки \(\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}\), доданок змінює знак на плюс:

\[ AC^2 = 9 + 25 - 2\cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) = 34 + 15 = 49 \quad\Longrightarrow\quad AC = 7 \text{ см} \]

Крок 3. Радіус описаного кола — за теоремою синусів, беручи сторону \(AC\) і протилежний їй кут \(B\):

\[ \frac{AC}{\sin B} = 2R, \qquad \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad\Longrightarrow\quad 2R = \frac{7}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}} \] \[ R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3} \approx 4{,}04 \text{ см} \]

Швидкий спосіб. Кут \(120^\circ\) тупий, отже, \(AC\) — найбільша сторона, тобто \(AC > 5\). Водночас нерівність трикутника дає \(AC < 3+5 = 8\). Відповідь мусить бути в проміжку від 5 до 8 — сімка підходить, а, скажімо, 4 чи 9 відкидаються без жодних обчислень.

Відповідь: \(AC = 7\) см, \(R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\) см.

Завдання 8. Координати на площині: паралелограм

Умова. Три вершини паралелограма \(ABCD\) мають координати \(A(-3;1)\), \(B(1;4)\), \(C(8;4)\). Знайдіть координати вершини \(D\), периметр і площу паралелограма.

Крок 1. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл, тому середини \(AC\) і \(BD\) збігаються. Звідси \(D = A + C - B\):

\[ D(-3 + 8 - 1;\; 1 + 4 - 4) = D(4;1) \]

Перевірка. Середина \(AC\) — це \(\left(\tfrac{-3+8}{2}; \tfrac{1+4}{2}\right) = (2{,}5;\,2{,}5)\); середина \(BD\) — \(\left(\tfrac{1+4}{2}; \tfrac{4+1}{2}\right) = (2{,}5;\,2{,}5)\). Збігаються.

Крок 2. Довжини сторін за формулою відстані між точками:

\[ AB = \sqrt{(1+3)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{16+9} = 5, \qquad AD = \sqrt{(4+3)^2 + (1-1)^2} = 7 \] \[ P = 2(5+7) = 24 \]

Крок 3. Сторона \(AD\) лежить на прямій \(y = 1\), а сторона \(BC\) — на прямій \(y = 4\). Відстань між ними і є висотою: \(h = 4 - 1 = 3\). Тоді за аналогією з площею трикутника площа паралелограма — добуток основи на висоту:

\[ S = AD \cdot h = 7 \cdot 3 = 21 \]

Відповідь: \(D(4;1)\), \(P = 24\), \(S = 21\).

Як перевірити відповідь без малюнка

На НМТ немає часу малювати точно, а часто й малювати нема за чим. Тому корисно мати набір швидких фільтрів — кожен із них відкидає завідомо хибну відповідь за кілька секунд.

• Нерівність трикутника. Кожна сторона менша за суму двох інших і більша за їхню різницю. Якщо в задачі зі сторонами 3 і 5 вийшло 9 — розв'язок хибний, бо \(9 > 3+5\).
• Проти більшого кута — більша сторона. Якщо один із кутів тупий, протилежна йому сторона обов'язково найдовша.
• Гіпотенуза найдовша. Катет ніколи не буває більшим за гіпотенузу, а висота до гіпотенузи — меншим за менший катет.
• Порядок величини площі. Будь-який трикутник зі сторонами \(a\) і \(b\) має площу \(S \le \tfrac{1}{2}ab\) (рівність лише при прямому куті). Паралелограм: \(S \le ab\). Отримали більше — шукайте помилку.
• Сума кутів. У трикутнику \(180^\circ\), у чотирикутнику \(360^\circ\). Жоден внутрішній кут опуклого многокутника не перевищує \(180^\circ\).
• Межі синуса й косинуса. \(|\sin\alpha| \le 1\) і \(|\cos\alpha| \le 1\). Значення \(\sin A = 1{,}2\) означає арифметичну помилку, а не «особливий трикутник».
• Середня лінія трапеції завжди лежить між основами: \(b < m < a\).
• Коло і квадрат. Площа круга радіуса \(R\) трохи більша за 3\(R^2\) і менша за \(4R^2\) — площу описаного квадрата.

Типові помилки

• Радіус замість діаметра. В умові дано \(d = 12\), учень підставляє 12 у \(S = \pi R^2\) і отримує вчетверо більшу площу.
• Коефіцієнт подібності від «не тієї» пари. З \(AM:MB = 2:3\) роблять \(k = \tfrac{2}{3}\) замість \(k = \tfrac{2}{5}\). Коефіцієнт — це завжди відношення відповідних сторін цілих трикутників.
• Площі подібних фігур множать на \(k\), а не на \(k^2\). Найдорожча помилка теми.
• Уся різниця основ замість половини. У рівнобічній трапеції в прямокутний трикутник іде \(\tfrac{a-b}{2}\), а в прямокутній — уся різниця \(a-b\).
• Знак у теоремі косинусів. Для тупого кута \(\cos\gamma < 0\), і формула фактично дає додавання. Механічне віднімання дає занижену сторону.
• Вписаний кут прирівнюють до дуги. Він дорівнює половині дуги; центральний — усій дузі.
• Плутанина синуса й косинуса. Синус — протилежний катет до гіпотенузи, косинус — прилеглий. Допомагає правило: «косинус — от котрого кута сторона поруч».
• Одиниці. Площа — у квадратних одиницях. Якщо в умові сантиметри, а у варіантах м², відповідь треба переводити.

Висновок

Планіметрія на НМТ будується на десятці формул і трьох звичках: акуратно читати конфігурацію, добудовувати прямокутний трикутник і перевіряти відповідь на правдоподібність. Якщо ці вісім типів завдань розв'язуються впевнено, геометричний блок тесту закритий. Повний перелік того, що ще варто повторити, зібрано в матеріалі теми НМТ 2026. А якщо хочеться розібрати власні складні місця з викладачем — запишіться на пробне заняття.

Скільки завдань з геометрії на НМТ з математики?

Тест 2026 року містить 22 завдання, максимальний бал — 32. Геометрія не виділена в окремий блок: планіметричні й стереометричні завдання розкидані по всьому тесту, тому готуватися до них треба нарівні з алгеброю.

Чи дають на НМТ формули з планіметрії?

Довідкові матеріали містять базові формули площ і теореми косинусів та синусів, але покладатися лише на них не варто: пошук формули в довіднику з'їдає час. Властивості вписаних кутів, ознаки подібності та співвідношення в прямокутному трикутнику треба знати напам'ять.

Що робити, якщо до задачі немає малюнка?

Малюйте самі — від руки, не за масштабом, але з правильним взаємним розташуванням елементів. Позначайте на схемі всі відомі величини одразу після прочитання умови. Далі перевіряйте отриману відповідь фільтрами правдоподібності: нерівність трикутника, гіпотенуза найдовша, площа не більша за половину добутку сторін.

Як швидко відкидати варіанти відповідей?

Оцінюйте порядок величини до обчислень. Наприклад, якщо трикутник зі сторонами 3 і 5, то третя сторона гарантовано в межах від 2 до 8, а площа — не більша за 7,5. Часто з п'яти варіантів залишається один-два, і точне обчислення потрібне лише для контролю.