Разбор заданий НМТ: функции и графики

Разбор заданий НМТ: функции и графики

Функции и графики — один из самых «прибыльных» блоков НМТ по математике: задания на них встречаются каждый год, а решаются быстро, если ученик знает, куда смотреть. Напомним общую рамку: НМТ по математике 2026 содержит 22 задания, максимальный тестовый балл — 32. Времени на одно задание мало, поэтому ценность имеет не только правильный ответ, но и короткий путь к нему. В этой статье преподаватели Tutor-Math разбирают восемь типовых заданий в формате НМТ — от линейной функции до прогрессий — и показывают, где можно сэкономить минуту.

Главное правило блока. Почти каждое задание про функцию сводится к одному из трёх вопросов: как выглядит график, где он пересекает оси и в какой точке достигает наибольшего или наименьшего значения.

Задание 1. Линейная функция: пересечение с осью \(Ox\)

Условие. Функция задана формулой \(y = -3x + 6\). Укажите абсциссу точки пересечения её графика с осью \(Ox\).

Решение. На оси \(Ox\) ордината равна нулю, поэтому подставляем \(y = 0\):

\[ -3x + 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 3x = 6 \quad \Longrightarrow \quad x = 2 \]

Проверка: \(-3 \cdot 2 + 6 = -6 + 6 = 0\) — верно.

Ответ: \(2\).

Быстрый способ. Нуль линейной функции всегда равен \(x = -\dfrac{b}{k}\). Здесь \(-\dfrac{6}{-3} = 2\) — устно, без записи уравнения. Подробнее о коэффициентах — в статье о линейной функции и её графике.

Задание 2. Восстановление формулы по двум точкам

Условие. График линейной функции \(y = kx + b\) проходит через точки \(A(-1;\ 7)\) и \(B(2;\ -2)\). Найдите \(b\).

Решение. Угловой коэффициент — это отношение приращения \(y\) к приращению \(x\):

\[ k = \frac{-2 - 7}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3 \]

Подставляем \(k = -3\) и координаты точки \(A\) в формулу: \(7 = -3 \cdot (-1) + b\), то есть \(7 = 3 + b\), откуда \(b = 4\).

Проверка обеих точек для \(y = -3x + 4\): при \(x = -1\) получаем \(3 + 4 = 7\); при \(x = 2\) получаем \(-6 + 4 = -2\). Обе точки лежат на графике.

Ответ: \(b = 4\).

Быстрый способ. Не решайте систему двух уравнений: сначала \(k\) через приращение, затем одна подстановка. Контроль знака: если \(y\) убывает с ростом \(x\), то \(k\) обязан получиться отрицательным.

Задание 3. Квадратичная функция: вершина, ветви, нули

Условие. Функция задана формулой \(y = x^2 - 6x + 5\). Установите координаты вершины параболы, направление её ветвей и нули функции.

Решение. Старший коэффициент \(a = 1 > 0\), значит ветви направлены вверх. Абсцисса вершины:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 \]

Ордината вершины: \(y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4\). Вершина — точка \((3;\ -4)\).

Нули функции — корни квадратного уравнения \(x^2 - 6x + 5 = 0\). По теореме Виета сумма корней равна \(6\), произведение \(5\), значит \(x_1 = 1\), \(x_2 = 5\).

Проверка: \(1 - 6 + 5 = 0\) и \(25 - 30 + 5 = 0\) — оба корня верны.

Ответ: вершина \((3;\ -4)\), ветви вверх, нули \(x = 1\) и \(x = 5\).

Быстрый способ. Если корни уже найдены, вершину считать не нужно: её абсцисса — середина между нулями, \(x_0 = \dfrac{1 + 5}{2} = 3\). Работает всегда, потому что парабола симметрична. Полный разбор темы — в статье о квадратичной функции.

Задание 4. Наибольшее значение квадратичной функции

Условие. Найдите наибольшее значение функции \(y = -2x^2 + 8x - 3\).

Решение. Здесь \(a = -2 < 0\), ветви направлены вниз, поэтому функция имеет именно наибольшее значение — и достигает его в вершине.

\[ x_0 = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = 2, \qquad y_0 = -2 \cdot 4 + 8 \cdot 2 - 3 = -8 + 16 - 3 = 5 \]

Проверка контрольными точками: при \(x = 1\) получаем \(y = -2 + 8 - 3 = 3\), при \(x = 3\) получаем \(y = -18 + 24 - 3 = 3\). Оба значения меньше \(5\) и равны между собой — это подтверждает симметрию относительно \(x = 2\).

Ответ: \(5\).

Быстрый способ. Знак \(a\) сразу говорит, какой вопрос вообще имеет смысл: при \(a < 0\) существует наибольшее значение и не существует наименьшего, при \(a > 0\) — наоборот. Если в вариантах ответа просят «наименьшее значение» функции с \(a < 0\), правильный ответ — «не существует».

Задание 5. Область определения

Условие. Найдите область определения функции \(y = \sqrt{2x - 6} + \dfrac{1}{x - 5}\).

Решение. Ограничения дают два фрагмента формулы.

• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(2x - 6 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 3\).
• Знаменатель не может равняться нулю: \(x - 5 \neq 0\), то есть \(x \neq 5\).

Пересекаем условия: берём луч \(x \geqslant 3\) и выкалываем из него точку \(5\).

Ответ: \(D(y) = [3;\ 5) \cup (5;\ +\infty)\).

Быстрый способ. Проверяйте не всю формулу, а только «опасные места»: корень чётной степени, знаменатель, логарифм. Всё остальное определено везде. Работа с неравенствами подробно разобрана в статье о неравенствах.

Задание 6. Чтение графика

Условие. Функция \(y = f(x)\) определена на промежутке \([-4;\ 6]\), её график — ломаная с вершинами в точках \((-4;\ -3)\), \((-1;\ 2)\), \((2;\ 2)\), \((4;\ 5)\), \((6;\ 0)\). Укажите промежутки возрастания функции и её наибольшее значение.

Решение. Рассматриваем звенья последовательно и смотрим только на то, как меняется ордината.

• От \((-4;\ -3)\) до \((-1;\ 2)\): ордината выросла с \(-3\) до \(2\) — функция возрастает на \([-4;\ -1]\).
• От \((-1;\ 2)\) до \((2;\ 2)\): ордината не меняется — функция постоянна на \([-1;\ 2]\).
• От \((2;\ 2)\) до \((4;\ 5)\): ордината выросла — функция возрастает на \([2;\ 4]\).
• От \((4;\ 5)\) до \((6;\ 0)\): ордината уменьшилась — функция убывает на \([4;\ 6]\).

Наибольшая ордината среди всех точек графика равна \(5\) и достигается при \(x = 4\).

Ответ: функция возрастает на \([-4;\ -1]\) и на \([2;\ 4]\); наибольшее значение \(5\).

Быстрый способ. Наибольшее значение функции — это ордината самой высокой точки, а не её абсцисса. Именно здесь теряется больше всего баллов: в ответ пишут \(4\) вместо \(5\). Читайте вопрос буквально: «значение функции» — по вертикали, «при каком \(x\)» — по горизонтали.

Задание 7. Соответствие «функция — график»

Условие. Установите соответствие между функцией (1–4) и описанием её графика (А–Д).

• 1. \(y = 2x - 4\)
• 2. \(y = -x^2 + 4\)
• 3. \(y = x^2 - 4x\)
• 4. \(y = \dfrac{4}{x}\)

• А — парабола с ветвями вниз, вершина на оси \(Oy\) выше начала координат
• Б — прямая, которая возрастает и пересекает ось \(Oy\) ниже начала координат
• В — гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях
• Г — парабола с ветвями вверх, проходящая через начало координат и имеющая вершину в IV четверти
• Д — прямая, которая убывает

Решение. Классифицируем каждую функцию по виду формулы, а затем уточняем одной подстановкой.

• 1. Формула \(y = kx + b\) — это прямая. \(k = 2 > 0\), значит возрастает; \(b = -4 < 0\), значит пересечение с \(Oy\) ниже нуля. Это Б.
• 2. Старший коэффициент \(-1 < 0\) — ветви вниз. При \(x = 0\) получаем \(y = 4\), а линейного члена нет, поэтому вершина лежит именно на оси \(Oy\) в точке \((0;\ 4)\). Это А.
• 3. Старший коэффициент \(1 > 0\) — ветви вверх. Свободного члена нет, поэтому \(y(0) = 0\): график проходит через начало координат. Вершина: \(x_0 = \dfrac{4}{2} = 2\), \(y_0 = 4 - 8 = -4\), то есть \((2;\ -4)\) — четвёртая четверть. Это Г.
• 4. Обратная пропорциональность с положительным коэффициентом: при \(x = 2\) получаем \(y = 2\), при \(x = -2\) получаем \(y = -2\). Ветви в I и III четвертях. Это В.

Вариант Д остаётся лишним — так в заданиях на соответствие бывает почти всегда.

Ответ: 1 — Б, 2 — А, 3 — Г, 4 — В.

Как за 30 секунд отбросить ложные варианты в заданиях на соответствие

В этом формате не нужно строить ни один график. Достаточно трёх последовательных фильтров — они отсеивают почти всё.

• Фильтр 1: тип кривой (5 секунд). Смотрим только на наивысшую степень \(x\). Первая степень — прямая, вторая — парабола, \(x\) в знаменателе — гипербола, корень — половина параболы, положенной набок. Сразу отпадают все варианты другого типа.
• Фильтр 2: знак старшего коэффициента (5 секунд). У параболы \(a > 0\) — ветви вверх, \(a < 0\) — вниз. У прямой \(k > 0\) — возрастает, \(k < 0\) — убывает. У гиперболы \(k > 0\) — I и III четверти, \(k < 0\) — II и IV. Этот фильтр обычно оставляет один-два варианта.
• Фильтр 3: контрольная точка \(x = 0\) (10 секунд). Подставляем ноль и получаем точку пересечения с осью \(Oy\) — это просто свободный член формулы. Если в варианте график пересекает \(Oy\) выше нуля, а свободный член отрицателен, вариант ложный. Для гиперболы этот фильтр не нужен: она \(Oy\) не пересекает вообще.

Порядок работы. Сначала расставьте все очевидные совпадения и только потом разбирайтесь со спорным. Один лишний вариант в списке А–Д существует именно для того, чтобы заставить вас усомниться в уже правильно поставленном соответствии.

Задание 8. Прогрессии как функции натурального аргумента

Условие. Последовательность задана формулой \(a_n = 3n - 1\). Найдите \(a_{20}\) и сумму первых двадцати членов.

Решение. Формула \(a_n = 3n - 1\) — это та же линейная зависимость, только аргумент \(n\) пробегает лишь натуральные числа. График такой функции — не прямая, а отдельные точки, лежащие на прямой.

Поскольку разность соседних членов постоянна: \(a_{n+1} - a_n = 3(n+1) - 1 - (3n - 1) = 3\), это арифметическая прогрессия с \(d = 3\) и \(a_1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2\).

Двадцатый член: \(a_{20} = 3 \cdot 20 - 1 = 59\).

Сумма первых двадцати членов:

\[ S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{2 + 59}{2} \cdot 20 = \frac{61}{2} \cdot 20 = 610 \]

Проверка прямым сложением всех двадцати членов даёт то же число \(610\).

Ответ: \(a_{20} = 59\), \(S_{20} = 610\).

Быстрый способ. Если \(a_n\) — многочлен первой степени от \(n\), то коэффициент при \(n\) и есть разность \(d\), а свободный член равен \(a_0\), то есть \(a_1 = d + a_0\). Здесь \(d = 3\), \(a_1 = 3 - 1 = 2\) — без всяких вычислений.

Задание 8б. Геометрическая прогрессия

Условие. В геометрической прогрессии \(b_1 = 24\), \(q = \dfrac{1}{2}\). Найдите \(b_5\) и сумму бесконечной прогрессии.

Решение. По формуле \(n\)-го члена:

\[ b_5 = b_1 q^4 = 24 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{24}{16} = 1{,}5 \]

Поскольку \(|q| < 1\), сумма бесконечной прогрессии существует:

\[ S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{24}{1 - 0{,}5} = \frac{24}{0{,}5} = 48 \]

Проверка: \(24 + 12 + 6 + 3 + 1{,}5 + 0{,}75 = 47{,}25\) — частичные суммы действительно приближаются к \(48\) снизу.

Ответ: \(b_5 = 1{,}5\), \(S = 48\).

Типичные ошибки

• Путают абсциссу и ординату в ответе. «Наибольшее значение функции» — это \(y\), «точка максимума» — это \(x\). В задании 6 это разница между \(5\) и \(4\).
• Ошибка знака в формуле вершины. В функции \(y = x^2 - 6x + 5\) коэффициент \(b = -6\), поэтому \(x_0 = -\dfrac{-6}{2} = 3\), а не \(-3\).
• Забывают выколоть точку в области определения. Знаменатель \(x - 5\) даёт \(x \neq 5\), и точка \(5\) должна выпасть из промежутка, даже если корень в ней определён.
• Считают, что при \(a < 0\) парабола лежит ниже оси \(Ox\). Знак \(a\) отвечает только за направление ветвей: парабола \(y = -2x^2 + 8x - 3\) имеет положительные значения вблизи вершины.
• В задании на соответствие строят графики. Это потеря 5–7 минут на задание, которое решается тремя фильтрами за полминуты.
• Путают номер члена прогрессии со значением члена. В \(a_n = 3n - 1\) запись \(a_{20}\) означает значение при \(n = 20\), то есть \(59\), а не двадцатку.
• Применяют формулу суммы бесконечной прогрессии при \(|q| \geqslant 1\). Тогда суммы просто не существует — формула даёт бессмысленное число.

Вывод

Блок «функции и графики» тем и удобен, что в нём мало вычислений и много логики вида «посмотрел на формулу — понял картинку». Знак старшего коэффициента, свободный член и одна контрольная точка закрывают большинство заданий быстрее, чем любое построение. Полный перечень того, что ещё проверяют на тесте, собран в обзоре тем НМТ 2026.

Если графики до сих пор «не читаются», а задания на соответствие съедают половину отведённого времени — это отрабатывается за несколько занятий. Запишитесь на пробное занятие в Tutor-Math: мы посмотрим, какие именно типы заданий тормозят, и построим план подготовки под ваш текущий уровень.

Сколько заданий на функции и графики в НМТ по математике?

Точное распределение меняется от варианта к варианту, поэтому называть фиксированное количество некорректно. Известно другое: тест 2026 года содержит 22 задания, максимальный балл — 32, а функции и графики являются одним из сквозных содержательных блоков, который встречается и в заданиях с выбором ответа, и в формате на установление соответствия.

Можно ли определить вершину параболы без формулы \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\)?

Да, если известны нули функции. Парабола симметрична, поэтому абсцисса вершины — середина между корнями. Для \(y = x^2 - 6x + 5\) с корнями \(1\) и \(5\) получаем \(x_0 = 3\). Если же действительных корней нет, формула \(-\dfrac{b}{2a}\) остаётся единственным быстрым путём.

Как быстро проверить, принадлежит ли точка графику функции?

Подставить абсциссу точки в формулу и сравнить результат с ординатой. Совпало — точка на графике, нет — значит нет. Это работает для любой функции и занимает несколько секунд, поэтому такую проверку стоит делать каждый раз, когда есть сомнение между двумя вариантами ответа.

Прогрессия — это функция?

Да, это функция натурального аргумента: каждому номеру \(n\) соответствует ровно одно значение \(a_n\). Поэтому график прогрессии — не сплошная линия, а набор изолированных точек. Для арифметической прогрессии эти точки лежат на прямой, для геометрической — на показательной кривой.