Розбір завдань НМТ: функції та графіки

Розбір завдань НМТ: функції та графіки

Функції та графіки — один із найбільш «прибуткових» блоків НМТ з математики: завдання на них трапляються щороку, а розв'язуються вони швидко, якщо учень знає, куди дивитися. Нагадаємо загальну рамку: НМТ з математики 2026 містить 22 завдання, максимальний тестовий бал — 32. Часу на одне завдання мало, тому цінність має не тільки правильна відповідь, а й швидкий шлях до неї. У цій статті викладачі Tutor-Math розбирають вісім типових завдань у форматі НМТ — від лінійної функції до прогресій — і показують, де можна зекономити хвилину.

Головне правило блоку. Майже кожне завдання про функцію зводиться до одного з трьох питань: який вигляд має графік, де він перетинає осі, і в якій точці досягає найбільшого чи найменшого значення.

Завдання 1. Лінійна функція: перетин з віссю \(Ox\)

Умова. Функцію задано формулою \(y = -3x + 6\). Укажіть абсцису точки перетину її графіка з віссю \(Ox\).

Розв'язання. На осі \(Ox\) ордината дорівнює нулю, тому підставляємо \(y = 0\):

\[ -3x + 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 3x = 6 \quad \Longrightarrow \quad x = 2 \]

Перевірка: \(-3 \cdot 2 + 6 = -6 + 6 = 0\) — правильно.

Відповідь: \(2\).

Швидкий спосіб. Нуль лінійної функції завжди дорівнює \(x = -\dfrac{b}{k}\). Тут \(-\dfrac{6}{-3} = 2\) — усно, без запису рівняння. Детальніше про коефіцієнти — у статті про лінійну функцію та її графік.

Завдання 2. Відновлення формули за двома точками

Умова. Графік лінійної функції \(y = kx + b\) проходить через точки \(A(-1;\ 7)\) і \(B(2;\ -2)\). Знайдіть \(b\).

Розв'язання. Кутовий коефіцієнт — це відношення приросту \(y\) до приросту \(x\):

\[ k = \frac{-2 - 7}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3 \]

Підставляємо \(k = -3\) і координати точки \(A\) у формулу: \(7 = -3 \cdot (-1) + b\), тобто \(7 = 3 + b\), звідки \(b = 4\).

Перевірка обох точок для \(y = -3x + 4\): при \(x = -1\) маємо \(3 + 4 = 7\); при \(x = 2\) маємо \(-6 + 4 = -2\). Обидві точки лежать на графіку.

Відповідь: \(b = 4\).

Швидкий спосіб. Не розв'язуйте систему двох рівнянь: спершу \(k\) через приріст, потім одна підстановка. Контроль знака: якщо \(y\) спадає зі зростанням \(x\), то \(k\) мусить вийти від'ємним.

Завдання 3. Квадратична функція: вершина, віти, нулі

Умова. Функцію задано формулою \(y = x^2 - 6x + 5\). Установіть координати вершини параболи, напрям її віток і нулі функції.

Розв'язання. Старший коефіцієнт \(a = 1 > 0\), отже віти напрямлені вгору. Абсциса вершини:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 \]

Ордината вершини: \(y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4\). Вершина — точка \((3;\ -4)\).

Нулі функції — корені квадратного рівняння \(x^2 - 6x + 5 = 0\). За теоремою Вієта сума коренів дорівнює \(6\), добуток \(5\), отже \(x_1 = 1\), \(x_2 = 5\).

Перевірка: \(1 - 6 + 5 = 0\) і \(25 - 30 + 5 = 0\) — обидва корені правильні.

Відповідь: вершина \((3;\ -4)\), віти вгору, нулі \(x = 1\) і \(x = 5\).

Швидкий спосіб. Якщо корені вже знайдено, вершину рахувати не треба: її абсциса — середина між нулями, \(x_0 = \dfrac{1 + 5}{2} = 3\). Працює завжди, бо парабола симетрична. Повний розбір теми — у статті про квадратичну функцію.

Завдання 4. Найбільше значення квадратичної функції

Умова. Знайдіть найбільше значення функції \(y = -2x^2 + 8x - 3\).

Розв'язання. Тут \(a = -2 < 0\), віти напрямлені вниз, тому функція має саме найбільше значення — і досягає його у вершині.

\[ x_0 = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = 2, \qquad y_0 = -2 \cdot 4 + 8 \cdot 2 - 3 = -8 + 16 - 3 = 5 \]

Перевірка контрольними точками: при \(x = 1\) маємо \(y = -2 + 8 - 3 = 3\), при \(x = 3\) маємо \(y = -18 + 24 - 3 = 3\). Обидва значення менші за \(5\) і рівні між собою — це підтверджує симетрію відносно \(x = 2\).

Відповідь: \(5\).

Швидкий спосіб. Знак \(a\) одразу каже, яке питання взагалі має сенс: при \(a < 0\) існує найбільше значення й не існує найменшого, при \(a > 0\) — навпаки. Якщо у варіантах відповіді просять «найменше значення» функції з \(a < 0\), правильна відповідь — «не існує».

Завдання 5. Область визначення

Умова. Знайдіть область визначення функції \(y = \sqrt{2x - 6} + \dfrac{1}{x - 5}\).

Розв'язання. Обмеження дають два фрагменти формули.

• Підкореневий вираз має бути невід'ємним: \(2x - 6 \geqslant 0\), тобто \(x \geqslant 3\).
• Знаменник не може дорівнювати нулю: \(x - 5 \neq 0\), тобто \(x \neq 5\).

Перетинаємо умови: беремо промінь \(x \geqslant 3\) і виколюємо з нього точку \(5\).

Відповідь: \(D(y) = [3;\ 5) \cup (5;\ +\infty)\).

Швидкий спосіб. Перевіряйте не всю формулу, а лише «небезпечні місця»: корінь парного степеня, знаменник, логарифм. Усе інше визначене всюди. Робота з нерівностями докладно розібрана в статті про нерівності.

Завдання 6. Читання графіка

Умова. Функція \(y = f(x)\) визначена на проміжку \([-4;\ 6]\), її графік — ламана з вершинами в точках \((-4;\ -3)\), \((-1;\ 2)\), \((2;\ 2)\), \((4;\ 5)\), \((6;\ 0)\). Укажіть проміжки зростання функції та її найбільше значення.

Розв'язання. Розглядаємо ланки послідовно й дивимося лише на те, як змінюється ордината.

• Від \((-4;\ -3)\) до \((-1;\ 2)\): ордината зросла з \(-3\) до \(2\) — функція зростає на \([-4;\ -1]\).
• Від \((-1;\ 2)\) до \((2;\ 2)\): ордината не змінюється — функція стала на \([-1;\ 2]\).
• Від \((2;\ 2)\) до \((4;\ 5)\): ордината зросла — функція зростає на \([2;\ 4]\).
• Від \((4;\ 5)\) до \((6;\ 0)\): ордината зменшилася — функція спадає на \([4;\ 6]\).

Найбільша ордината серед усіх точок графіка дорівнює \(5\) і досягається при \(x = 4\).

Відповідь: функція зростає на \([-4;\ -1]\) і на \([2;\ 4]\); найбільше значення \(5\).

Швидкий спосіб. Найбільше значення функції — це ордината найвищої точки, а не її абсциса. Це місце, де губиться найбільше балів: у відповідь пишуть \(4\) замість \(5\). Читайте питання буквально: «значення функції» — по вертикалі, «при якому \(x\)» — по горизонталі.

Завдання 7. Відповідність «функція — графік»

Умова. Установіть відповідність між функцією (1–4) та описом її графіка (А–Д).

• 1. \(y = 2x - 4\)
• 2. \(y = -x^2 + 4\)
• 3. \(y = x^2 - 4x\)
• 4. \(y = \dfrac{4}{x}\)

• А — парабола з вітками вниз, вершина на осі \(Oy\) вище початку координат
• Б — пряма, що зростає й перетинає вісь \(Oy\) нижче початку координат
• В — гіпербола, розміщена в I і III координатних чвертях
• Г — парабола з вітками вгору, що проходить через початок координат і має вершину в IV чверті
• Д — пряма, що спадає

Розв'язання. Класифікуємо кожну функцію за виглядом формули, а потім уточнюємо однією підстановкою.

• 1. Формула \(y = kx + b\) — це пряма. \(k = 2 > 0\), отже зростає; \(b = -4 < 0\), отже перетин з \(Oy\) нижче нуля. Це Б.
• 2. Старший коефіцієнт \(-1 < 0\) — віти вниз. При \(x = 0\) маємо \(y = 4\), а лінійного члена немає, тому вершина лежить саме на осі \(Oy\) в точці \((0;\ 4)\). Це А.
• 3. Старший коефіцієнт \(1 > 0\) — віти вгору. Вільного члена немає, тому \(y(0) = 0\): графік проходить через початок координат. Вершина: \(x_0 = \dfrac{4}{2} = 2\), \(y_0 = 4 - 8 = -4\), тобто \((2;\ -4)\) — четверта чверть. Це Г.
• 4. Обернена пропорційність із додатним коефіцієнтом: при \(x = 2\) маємо \(y = 2\), при \(x = -2\) маємо \(y = -2\). Гілки в I і III чвертях. Це В.

Варіант Д лишається зайвим — так у завданнях на відповідність буває майже завжди.

Відповідь: 1 — Б, 2 — А, 3 — Г, 4 — В.

Як за 30 секунд відкинути хибні варіанти у завданнях на відповідність

У цьому форматі не потрібно будувати жоден графік. Достатньо трьох послідовних фільтрів — вони відсіюють майже все.

• Фільтр 1: тип кривої (5 секунд). Дивимося лише на найвищий степінь \(x\). Перший степінь — пряма, другий — парабола, \(x\) у знаменнику — гіпербола, корінь — половина параболи, покладеної набік. Одразу відпадають усі варіанти іншого типу.
• Фільтр 2: знак старшого коефіцієнта (5 секунд). У параболи \(a > 0\) — віти вгору, \(a < 0\) — вниз. У прямої \(k > 0\) — зростає, \(k < 0\) — спадає. У гіперболи \(k > 0\) — I і III чверті, \(k < 0\) — II і IV. Цей фільтр зазвичай лишає один-два варіанти.
• Фільтр 3: контрольна точка \(x = 0\) (10 секунд). Підставляємо нуль і отримуємо точку перетину з віссю \(Oy\) — це просто вільний член формули. Якщо у варіанті графік перетинає \(Oy\) вище нуля, а вільний член від'ємний, варіант хибний. Для гіперболи цей фільтр не потрібен: вона \(Oy\) не перетинає взагалі.

Порядок роботи. Спочатку розставте всі очевидні збіги, і лише потім розбирайтеся зі спірним. Один зайвий варіант у списку А–Д існує саме для того, щоб змусити вас сумніватися в уже правильно поставленій відповідності.

Завдання 8. Прогресії як функції натурального аргументу

Умова. Послідовність задано формулою \(a_n = 3n - 1\). Знайдіть \(a_{20}\) і суму перших двадцяти членів.

Розв'язання. Формула \(a_n = 3n - 1\) — це та сама лінійна залежність, тільки аргумент \(n\) пробігає лише натуральні числа. Графік такої функції — не пряма, а окремі точки, що лежать на прямій.

Оскільки різниця сусідніх членів стала: \(a_{n+1} - a_n = 3(n+1) - 1 - (3n - 1) = 3\), це арифметична прогресія з \(d = 3\) і \(a_1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2\).

Двадцятий член: \(a_{20} = 3 \cdot 20 - 1 = 59\).

Сума перших двадцяти членів:

\[ S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{2 + 59}{2} \cdot 20 = \frac{61}{2} \cdot 20 = 610 \]

Перевірка прямим додаванням усіх двадцяти членів дає те саме число \(610\).

Відповідь: \(a_{20} = 59\), \(S_{20} = 610\).

Швидкий спосіб. Якщо \(a_n\) — многочлен першого степеня від \(n\), то коефіцієнт при \(n\) і є різниця \(d\), а вільний член дорівнює \(a_0\), тобто \(a_1 = d + a_0\). Тут \(d = 3\), \(a_1 = 3 - 1 = 2\) — без жодних обчислень.

Завдання 8б. Геометрична прогресія

Умова. У геометричній прогресії \(b_1 = 24\), \(q = \dfrac{1}{2}\). Знайдіть \(b_5\) і суму нескінченної прогресії.

Розв'язання. За формулою \(n\)-го члена:

\[ b_5 = b_1 q^4 = 24 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{24}{16} = 1{,}5 \]

Оскільки \(|q| < 1\), сума нескінченної прогресії існує:

\[ S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{24}{1 - 0{,}5} = \frac{24}{0{,}5} = 48 \]

Перевірка: \(24 + 12 + 6 + 3 + 1{,}5 + 0{,}75 = 47{,}25\) — часткові суми справді наближаються до \(48\) знизу.

Відповідь: \(b_5 = 1{,}5\), \(S = 48\).

Типові помилки

• Плутають абсцису й ординату у відповіді. «Найбільше значення функції» — це \(y\), «точка максимуму» — це \(x\). У завданні 6 це різниця між \(5\) і \(4\).
• Помилка знака у формулі вершини. У функції \(y = x^2 - 6x + 5\) коефіцієнт \(b = -6\), тому \(x_0 = -\dfrac{-6}{2} = 3\), а не \(-3\).
• Забувають виколоти точку в області визначення. Знаменник \(x - 5\) дає \(x \neq 5\), і крапка \(5\) має випасти з проміжку, навіть якщо корінь у ній визначений.
• Вважають, що при \(a < 0\) парабола лежить нижче осі \(Ox\). Знак \(a\) відповідає лише за напрям віток: парабола \(y = -2x^2 + 8x - 3\) має додатні значення поблизу вершини.
• У завданні на відповідність будують графіки. Це втрата 5–7 хвилин на завдання, яке розв'язується трьома фільтрами за півхвилини.
• Плутають номер члена прогресії зі значенням члена. У \(a_n = 3n - 1\) запис \(a_{20}\) означає значення при \(n = 20\), тобто \(59\), а не двадцятку.
• Застосовують формулу суми нескінченної прогресії при \(|q| \geqslant 1\). Тоді суми просто не існує — формула дає безглузде число.

Висновок

Блок «функції та графіки» тим і зручний, що в ньому мало обчислень і багато логіки виду «подивився на формулу — зрозумів картинку». Знак старшого коефіцієнта, вільний член і одна контрольна точка закривають більшість завдань швидше, ніж будь-яка побудова. Повний перелік того, що ще перевіряють на тесті, зібрано в огляді тем НМТ 2026.

Якщо графіки й досі «не читаються», а завдання на відповідність з'їдають половину відведеного часу — це відпрацьовується за кілька занять. Запишіться на пробне заняття в Tutor-Math: ми подивимося, які саме типи завдань гальмують, і побудуємо план підготовки під ваш поточний рівень.

Скільки завдань на функції та графіки в НМТ з математики?

Точний розподіл змінюється від варіанта до варіанта, тому називати фіксовану кількість некоректно. Відомо інше: тест 2026 року містить 22 завдання, максимальний бал — 32, а функції та графіки є одним із наскрізних змістових блоків, який зустрічається і в завданнях з вибором відповіді, і у форматі на встановлення відповідності.

Чи можна визначити вершину параболи без формули \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\)?

Так, якщо відомі нулі функції. Парабола симетрична, тому абсциса вершини — середина між коренями. Для \(y = x^2 - 6x + 5\) з коренями \(1\) і \(5\) отримуємо \(x_0 = 3\). Якщо ж дійсних коренів немає, формула \(-\dfrac{b}{2a}\) лишається єдиним швидким шляхом.

Як швидко перевірити, чи належить точка графіку функції?

Підставити абсцису точки у формулу й порівняти результат з ординатою. Якщо збіглося — точка на графіку, якщо ні — ні. Це працює для будь-якої функції й займає кілька секунд, тому таку перевірку варто робити щоразу, коли є сумнів між двома варіантами відповіді.

Прогресія — це функція?

Так, це функція натурального аргументу: кожному номеру \(n\) відповідає рівно одне значення \(a_n\). Тому графік прогресії — не суцільна лінія, а набір ізольованих точок. Для арифметичної прогресії ці точки лежать на прямій, для геометричної — на показниковій кривій.