Типові помилки на НМТ з математики
Математика на НМТ 2026 — це 22 завдання і максимум 32 бали. Досвід підготовки показує неприємну річ: помітна частина втрачених балів припадає не на «складні» завдання, а на теми, які учень насправді знає. Загублений знак, скорочений доданок, відповідь на інше питання — і бал зникає. На заняттях у Tutor-Math ми окремо працюємо саме з цим шаром: не з незнанням, а з механікою зривів. Нижче — помилки, згруповані за їхньою природою, і до кожної числовий контрприклад: як виглядає хибний хід і як правильний.
Головна теза. Помилка і незнання — різні речі. Незнання лікують теорією, помилку — процедурою: свідомим порядком дій, який не залежить від зосередженості в конкретну хвилину.
1. Помилки в обчисленнях
Знак при розкритті дужок. Мінус перед дужкою множить кожен доданок усередині, а не лише перший. Обчислімо \(12 - 3(5 - 8)\).
- Хибно: \(12 - 3 \cdot 5 - 3 \cdot 8 = 12 - 15 - 24 = -27\).
- Правильно: \(12 - 3 \cdot 5 + 3 \cdot 8 = 12 - 15 + 24 = 21\).
Перевірка займає секунду: усередині дужок \(5 - 8 = -3\), тоді \(12 - 3 \cdot (-3) = 12 + 9 = 21\).
Знак при перенесенні через рівність. Доданок, який переносять в іншу частину, змінює знак. Розв'яжімо \(5x - 7 = 3x + 9\).
- Хибно (знак не змінили): \(5x + 3x = 9 - 7\), тобто \(8x = 2\), \(x = 0{,}25\). Підстановка: ліва частина \(5 \cdot 0{,}25 - 7 = -5{,}75\), права \(3 \cdot 0{,}25 + 9 = 9{,}75\). Рівності немає.
- Правильно: \(5x - 3x = 9 + 7\), тобто \(2x = 16\), \(x = 8\). Підстановка: \(5 \cdot 8 - 7 = 33\) і \(3 \cdot 8 + 9 = 33\). Збігається.
Дії з від'ємними числами. Класична пара: \(-2^4\) і \((-2)^4\). У першому записі степінь стосується лише двійки, тому \(-2^4 = -16\). У другому в степінь підноситься саме \(-2\), тому \((-2)^4 = 16\). Так само \(-5 - (-8) = -5 + 8 = 3\), а не \(-13\). Якщо знаки досі даються важко, варто повернутися до теми від'ємних чисел і модуля.
Порядок дій. Обчислімо \(8 + 4 \cdot 3^2 - 6 : 2\).
- Хибно (зліва направо): \((8 + 4) \cdot 9 = 108\), далі \(108 - 6 = 102\), потім \(102 : 2 = 51\).
- Правильно: спершу степінь \(3^2 = 9\), потім множення й ділення \(4 \cdot 9 = 36\) та \(6 : 2 = 3\), і лише тоді \(8 + 36 - 3 = 41\).
2. Помилки в алгебрі
ОДЗ і сторонні корені. Розв'яжімо \(\dfrac{x^2}{x - 3} = \dfrac{9}{x - 3}\). Множення на \(x - 3\) дає \(x^2 = 9\), звідки \(x = 3\) або \(x = -3\). Але при \(x = 3\) знаменник дорівнює нулю — корінь сторонній, він з'явився саме через множення на вираз зі змінною. Залишається \(x = -3\): перевірка дає \(\dfrac{9}{-6} = -1{,}5\) в обох частинах. Детальніше — у статті про дробово-раціональні рівняння.
Знак нерівності при діленні на від'ємне. Розв'яжімо \(-3x > 12\).
- Хибно: \(x > -4\). Підстановка \(x = 0\): \(-3 \cdot 0 = 0\), а \(0 > 12\) — хибно.
- Правильно: \(x < -4\). Підстановка \(x = -5\): \(-3 \cdot (-5) = 15\), і \(15 > 12\) — правильно.
Правило просте: множення або ділення обох частин на від'ємне число розвертає знак. Повний розбір — у статті про нерівності.
Квадрат суми. Запис \((a + b)^2 = a^2 + b^2\) — найдорожча алгебраїчна помилка НМТ. Числа: \((3 + 4)^2 = 7^2 = 49\), тоді як \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\). Різниця \(24\) — це і є подвоєний добуток \(2ab = 2 \cdot 3 \cdot 4\). Правильна формула: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Решта формул — у матеріалі про формули скороченого множення.
Скорочення доданків замість множників. Скорочувати можна лише спільний множник усього чисельника й знаменника. Візьмімо \(\dfrac{3x + 6}{3}\) при \(x = 4\): справжнє значення \(\dfrac{12 + 6}{3} = 6\). Правильне перетворення \(\dfrac{3(x + 2)}{3} = x + 2\) дає \(4 + 2 = 6\). Хибне «скорочення трійки лише в першому доданку» дає \(x + 6 = 10\). Це та сама пастка, що і в раціональних дробах.
3. Помилки в геометрії
Медіана, висота, бісектриса. Три відрізки з однієї вершини — три різні об'єкти. Візьмімо трикутник із вершинами \(A(0; 0)\), \(B(8; 0)\), \(C(2; 6)\). Висота з вершини \(C\) падає в точку \((2; 0)\) і дорівнює \(6\). Медіана йде в середину сторони \(AB\), тобто в \((4; 0)\), і дорівнює \(\sqrt{(4-2)^2 + 6^2} = \sqrt{40} \approx 6{,}32\). Це різні числа: підставляти медіану у формулу площі \(S = \tfrac{1}{2} a h\) не можна. Розбір відмінностей — у статті про медіану, висоту й бісектрису.
Відношення площ подібних фігур. Якщо коефіцієнт подібності \(k\), то периметри відносяться як \(k\), а площі — як \(k^2\). Трикутник зі сторонами \(4, 6, 8\) має площу \(3\sqrt{15} \approx 11{,}62\). Подібний йому трикутник зі сторонами \(6, 9, 12\) (тобто \(k = 1{,}5\)) має площу \(6{,}75\sqrt{15} \approx 26{,}14\). Відношення площ \(26{,}14 : 11{,}62 = 2{,}25 = 1{,}5^2\), а не \(1{,}5\). Тема детально розібрана в статті про подібність трикутників.
Радіус замість діаметра. В умові дано діаметр \(10\), а у формулу підставляють \(10\) як радіус. Правильно: \(r = 5\), тому \(S = \pi r^2 = 25\pi \approx 78{,}54\). Хибно: \(S = \pi \cdot 10^2 = 100\pi \approx 314{,}16\) — учетверо більше. Довжина цього кола \(C = \pi d = 10\pi \approx 31{,}42\). Формули — у статті про коло і круг.
4. Помилки читання умови
Відповіли не на те питання. «Периметр прямокутника \(34\), одна сторона на \(5\) більша за іншу. Знайдіть площу.» Півпериметр \(17\), тому \(x + (x + 5) = 17\), звідки \(x = 6\), сторони \(6\) і \(11\). Учень зупиняється на \(6\) — але питали площу: \(S = 6 \cdot 11 = 66\).
Проґавили одиниці вимірювання. «Швидкість \(72\) км/год, час \(15\) хв. Який шлях?» Хибно: \(72 \cdot 15 = 1080\) — змішали години та хвилини. Правильно: \(15\) хв \(= 0{,}25\) год, тому \(s = 72 \cdot 0{,}25 = 18\) км.
Не врахували обмеження задачі. «Сторона квадрата \(x\) задовольняє \(x^2 + 3x = 40\).» Рівняння має корені \(x = 5\) і \(x = -8\): перевірка для п'ятірки \(25 + 15 = 40\), для \(-8\) — \(64 - 24 = 40\). Обидва арифметично правильні, але довжина не буває від'ємною, тому відповідь одна: \(x = 5\).
5. Технічні помилки
- Бланк. Правильно розв'язане завдання, позначене не в тому рядку, коштує так само, як не розв'язане. Позначку варто ставити одразу після завдання, а не переносити «все разом наприкінці».
- Застрягання. Усі завдання першої частини дають однакову вагу, тому п'ятнадцять хвилин, витрачені на одне складне, — це два-три втрачені прості. Робоче правило: не рухається за дві спроби — пропустити, повернутися в кінці.
- Відсутність перевірки. Робота, здана без жодного повернення до відповідей, майже завжди містить хоча б одну помилку зі знаком. Перевірка — не розкіш, а окремий етап роботи.
Приклад 1. Пастка «не те питання»
Периметр прямокутника \(34\) см, одна сторона на \(5\) см більша за іншу. Знайдіть площу.
Півпериметр: \(34 : 2 = 17\). Рівняння: \(x + (x + 5) = 17\), тобто \(2x = 12\), \(x = 6\). Сторони: \(6\) і \(11\). Перевірка периметра: \(2(6 + 11) = 34\). Площа: \(6 \cdot 11 = 66\).
Відповідь: \(66\) см².
Приклад 2. Пастка одиниць
Автомобіль їде зі швидкістю \(72\) км/год. Який шлях він подолає за \(15\) хвилин?
Переводимо час в години: \(15 : 60 = 0{,}25\) год. Тоді \(s = v t = 72 \cdot 0{,}25 = 18\) км.
Відповідь: \(18\) км.
Приклад 3. Пастка стороннього кореня
Розв'яжіть \(\dfrac{x^2}{x - 3} = \dfrac{9}{x - 3}\).
ОДЗ: \(x \ne 3\). Множимо на \(x - 3\): \(x^2 = 9\), звідки \(x = 3\) або \(x = -3\). Корінь \(x = 3\) не входить в ОДЗ і відкидається. Перевірка \(x = -3\): ліва частина \(\dfrac{9}{-6} = -1{,}5\), права \(\dfrac{9}{-6} = -1{,}5\).
Відповідь: \(x = -3\).
Приклад 4. Пастка знака нерівності
Розв'яжіть \(7 - 5x \geqslant 27\).
Переносимо: \(-5x \geqslant 20\). Ділимо на \(-5\) і розвертаємо знак: \(x \leqslant -4\). Перевірка межі \(x = -4\): \(7 + 20 = 27\), нерівність виконується. Перевірка \(x = 0\): \(7 \geqslant 27\) — хибно, отже, додатні значення справді не входять.
Відповідь: \(x \leqslant -4\).
Приклад 5. Пастка коефіцієнта подібності
Трикутники подібні з коефіцієнтом \(k = 1{,}5\). Площа меншого \(24\) см². Знайдіть площу більшого.
Площі подібних фігур відносяться як \(k^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25\). Отже, \(S = 24 \cdot 2{,}25 = 54\) см². Хибний хід — множення на \(1{,}5\), що дало б \(36\) см².
Відповідь: \(54\) см².
Самоперевірка за 5 хвилин до кінця тесту
Останні хвилини витрачати на нове складне завдання невигідно — вигідніше зібрати вже зароблені бали. Порядок дій:
- Хвилина 1: бланк. Перевірити, що номер кожної позначки збігається з номером завдання і немає порожніх рядків там, де відповідь знайдена.
- Хвилина 2: питання умови. Пробігти очима завдання з розгорнутою відповіддю й запитати себе: питали площу чи сторону? швидкість чи час? Це ловить найдорожчі помилки.
- Хвилина 3: підстановка коренів. У рівняннях підставити знайдені корені у вихідне рівняння, а не в перетворене. Одна підстановка ловить і арифметику, і сторонній корінь.
- Хвилина 4: одиниці та обмеження. Перевірити, що всі величини в одних одиницях, а від'ємні чи нульові значення довжин, мас і кількостей відкинуті.
- Хвилина 5: правдоподібність. Груба оцінка порядку. Якщо в задачі про сторони \(6\) і \(11\) вийшла площа \(660\), десь загубився множник.
Коротко: чек-лист помилок
- Мінус перед дужкою множить усі доданки, а не перший.
- Перенесення через знак рівності змінює знак доданка.
- \(-2^4 = -16\), але \((-2)^4 = 16\).
- Множення й ділення виконуються раніше за додавання й віднімання.
- Множення на вираз зі змінною може дати сторонній корінь — потрібна ОДЗ.
- Ділення нерівності на від'ємне число розвертає знак.
- \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), а не \(a^2 + b^2\).
- Скорочувати можна лише множники, ніколи — окремі доданки.
- Площі подібних фігур відносяться як \(k^2\), периметри — як \(k\).
- Дано діаметр — у формулу йде половина.
- Остання дія завжди — прочитати питання ще раз.
Висновок
Помилки з цього списку не про «слабку математику» — вони про відсутність процедури. Кожна з них ловиться за десять секунд, якщо перевірка вбудована в звичку, а не робиться «якщо залишиться час». Найкорисніше тренування — розв'язувати завдання й одразу підставляти відповідь назад, доки це не стане автоматизмом. Розібратися зі структурою НМТ з математики варто заздалегідь, а власні повторювані помилки найшвидше видно збоку: запишіться на пробне заняття в Tutor-Math, і ми знайдемо саме ті кілька типів зривів, які коштують вам балів.
Скільки завдань і балів на НМТ з математики 2026?
Блок математики містить 22 завдання, максимальний тестовий бал — 32. Завдання відрізняються за форматом і вагою, тому пропущене просте завдання коштує рівно стільки ж, скільки не розв'язане складне: у роботі з часом вигідно спершу зібрати все, що дається одразу.
Яка помилка на НМТ з математики найдорожча?
Відповідь не на те питання, яке поставлене в умові. Задача розв'язана правильно до кінця, всі обчислення вірні, але знайдено сторону замість площі або час замість швидкості. Бал за таке завдання нульовий, хоча математично учень зробив усе. Захист один: перед записом відповіді перечитати останнє речення умови.
Як не втратити корені й не набрати сторонніх?
Перед розв'язанням записати ОДЗ: знаменник не дорівнює нулю, підкореневий вираз невід'ємний. Після розв'язання підставити кожен корінь у вихідне рівняння. Множення обох частин на вираз зі змінною додає корені, а ділення на такий вираз — губить їх, тому ділити на вираз зі змінною не можна, його виносять за дужки.
Чи варто перевіряти завдання, у яких упевнений?
Так, але швидко й вибірково. Повний перерозв'язок займає надто багато часу, а от підстановка знайденого кореня, звірка одиниць вимірювання й оцінка порядку числа займають секунди. Саме в «упевнених» завданнях найчастіше й ховається загублений знак — бо їх розв'язують швидко й без пильності.
