Формули, яких немає в довіднику НМТ — вивчити напам'ять
На НМТ з математики учасник отримує довідкові матеріали — дві сторінки формул наприкінці тестового зошита. Багато школярів роблять із цього хибний висновок: «формули дадуть, учити не треба». Насправді довідник закриває приблизно половину того, що потрібно на тесті, а решту доводиться згадувати самому. У Tutor-Math ми щороку розбираємо з випускниками цей список окремо — бо саме на ньому втрачаються бали, яких можна було не втрачати. Нижче — розібраний за групами перелік формул, які треба знати напам'ять, і причини, чому саме їх.
Головне про формат. НМТ з математики 2026 містить 22 завдання, максимальний тестовий бал — 32. Це близько 2 хвилин на завдання. Довідник у такому темпі — не помічник, а витрата часу: поки ви його гортаєте, сусід уже пише відповідь.
Що в довіднику справді є
Спершу чесно про те, що вам таки дадуть. Довідкові матеріали УЦОЯО містять таблицю квадратів від 10 до 49, формулу дискримінанта й коренів квадратного рівняння, властивості степенів і логарифмів, формули прогресій, похідні й первісні, основну тригонометричну тотожність із таблицею значень кутів, а з геометрії — теорему Піфагора, теореми синусів і косинусів, площі основних фігур та формули об'ємів.
Список солідний. Проблема в іншому: у ньому є діри рівно там, де НМТ любить ставити завдання. Розберімо їх по черзі.
Формули скороченого множення: у довіднику лише три із семи
Це найнеприємніший сюрприз. Довідник містить рівно три формули: \(a^2-b^2\), \((a+b)^2\) і \((a-b)^2\). Усі чотири формули з кубами там відсутні, а саме вони найчастіше потрібні для скорочення дробів.
Учіть напам'ять:
\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\qquad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\]
\[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\qquad (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.\]
Коли застосовується: скорочення раціональних дробів, розкладання на множники, спрощення виразів із кубами. Мікроприклад: \(1000-1=999=(10-1)(100+10+1)=9\cdot 111\) — те саме, що й \(a^3-b^3\) при \(a=10\), \(b=1\).
Детальний розбір усіх семи — у статті про формули скороченого множення.
Теорема Вієта: у довіднику її немає взагалі
Довідник дає формулу коренів через дискримінант — і на цьому все. Співвідношень між коренями й коефіцієнтами там немає жодного.
Для рівняння \(ax^2+bx+c=0\) з коренями \(x_1\), \(x_2\):
\[x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}.\]
Коли застосовується: усний добір коренів, обчислення симетричних виразів від коренів (\(x_1^2+x_2^2\), \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\)), задачі з параметром, миттєва перевірка вже знайдених коренів. Мікроприклад: у \(x^2-9x+20=0\) шукаємо два числа з добутком 20 і сумою 9 — це 4 і 5, дискримінант рахувати не довелося.
Повний розбір — у статті про теорему Вієта.
Степені й корені
Властивості степенів у довіднику є повністю. А от коренів як окремого блоку немає — вони заховані в один рядок про дробовий показник \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\). Робочі властивості доводиться відновлювати самому.
\[\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},\qquad \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\qquad \sqrt{a^2}=|a|.\]
Коли застосовується: винесення множника з-під кореня, звільнення від ірраціональності в знаменнику. Мікроприклад: \(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}\).
Основи — у статтях про степінь із натуральним показником, степінь із від'ємним показником та квадратний корінь.
Площі фігур: базові є, зручні — ні
Тут ситуація м'якша. Довідник дає \(S=\frac{1}{2}ah\), \(S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma\), формулу Герона, площі паралелограма, прямокутника, ромба через діагоналі, трапеції та круга. Немає площі квадрата через діагональ, площі сектора й довжини дуги.
\[S_{\text{квадрата}}=\frac{d^2}{2},\qquad S_{\text{сектора}}=\frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}.\]
Мікроприклад: квадрат із діагоналлю 6 має площу \(\frac{36}{2}=18\) — без цієї формули довелося б спершу шукати сторону \(3\sqrt{2}\).
Розбір формул площі — у статті про площу трикутника.
Тригонометрія прямокутного трикутника
Основна тотожність \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) і означення синуса, косинуса й тангенса через сторони в довіднику є. Але формул суми й різниці кутів \(\sin(\alpha\pm\beta)\) та \(\cos(\alpha\pm\beta)\) там немає.
Головне ж інше: тотожність треба знати не «щоб знайти в довіднику», а щоб застосувати за секунду. Мікроприклад: якщо \(\sin\alpha=0{,}6\) і кут гострий, то \(\cos\alpha=\sqrt{1-0{,}36}=0{,}8\) — це має бути рефлекс, а не пошук сторінки.
Деталі — у статті про тригонометрію прямокутного трикутника.
Прогресії: одна формула суми з двох
Довідник дає \(a_n=a_1+d(n-1)\) і суму через крайні члени \(S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\). Другої формули суми — через різницю — там немає. Немає й суми нескінченної спадної геометричної прогресії, а це регулярний сюжет НМТ.
\[S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n,\qquad S=\frac{b_1}{1-q}\ \text{при}\ |q| < 1.\]
Мікроприклад: сума \(6+2+\frac{2}{3}+\ldots\) дорівнює \(\frac{6}{1-\frac{1}{3}}=9\).
Докладно — у статтях про арифметичну прогресію та геометричну прогресію.
Відсотки й пропорції: у довіднику немає нічого
Жодного рядка про відсотки чи пропорції в довідкових матеріалах не існує. Текстові задачі на НМТ при цьому є завжди.
\(p\) відсотків від числа \(a\) — це \(a\cdot\frac{p}{100}\). Зміна на \(p\) відсотків — множення на \(1\pm\frac{p}{100}\). Основна властивість пропорції: з \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) випливає \(ad=bc\).
Мікроприклад: 15 відсотків від 240 — це \(240\cdot 0{,}15=36\); із пропорції \(\frac{3}{4}=\frac{x}{20}\) одразу \(4x=60\), \(x=15\).
Практика — у статтях про задачі на відсотки й пропорцію.
Ознаки подільності
Їх у довіднику теж немає — як і алгоритмів НСД та НСК. Це чиста економія часу: ознака подільності перетворює перебір на одну дію.
На 2 — остання цифра парна. На 3 і на 9 — сума цифр ділиться на 3 (на 9). На 4 — дві останні цифри утворюють число, кратне 4. На 5 — остання цифра 0 або 5. На 10 — остання цифра 0.
Мікроприклад: 4728 ділиться на 12, бо сума цифр \(4+7+2+8=21\) кратна 3, а «28» кратне 4.
Повний перелік — у статті про ознаки подільності.
Приклади: де без формули напам'ять втрачається час або бал
Приклад 1. Спростити \(\dfrac{8x^3-27}{4x^2-9}\).
Чисельник — різниця кубів: \(8x^3-27=(2x)^3-3^3=(2x-3)(4x^2+6x+9)\). Знаменник — різниця квадратів: \(4x^2-9=(2x-3)(2x+3)\). Скорочуємо на \((2x-3)\).
Перевірка при \(x=5\): вихідний вираз дорівнює \(\frac{1000-27}{100-9}=\frac{973}{91}=\frac{139}{13}\); результат дорівнює \(\frac{100+30+9}{13}=\frac{139}{13}\) — збіглося.
Відповідь: \(\dfrac{4x^2+6x+9}{2x+3}\).
Приклад 2. Не розв'язуючи рівняння \(2x^2-5x-3=0\), знайти \(x_1^2+x_2^2\).
За Вієтом \(x_1+x_2=\frac{5}{2}\), \(x_1x_2=-\frac{3}{2}\). Тоді \(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{25}{4}+3=\frac{37}{4}\).
Контроль: корені рівняння — 3 і \(-\frac{1}{2}\) (підстановка: \(18-15-3=0\) і \(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}-3=0\)). Тоді \(9+\frac{1}{4}=\frac{37}{4}\) — збіглося.
Відповідь: \(\dfrac{37}{4}=9{,}25\).
Приклад 3. Знайти всі цифри \(x\), при яких число \(\overline{51x2}\) ділиться на 12.
Число ділиться на 12, коли ділиться і на 3, і на 4. Ознака 4: дві останні цифри \(\overline{x2}\) мають бути кратні 4, тобто 12, 32, 52, 72 або 92 — це \(x\in\{1;3;5;7;9\}\). Ознака 3: сума цифр \(5+1+x+2=8+x\) кратна 3, тобто \(x\in\{1;4;7\}\). Спільні значення — 1 і 7.
Перевірка: \(5112:12=426\), \(5172:12=431\).
Відповідь: \(x=1\) або \(x=7\).
Приклад 4. Ціну товару підвищили на 20 відсотків, а через місяць знизили на 20 відсотків. Як змінилася ціна порівняно з початковою?
Підвищення — множення на \(1{,}2\), зниження — на \(0{,}8\). Разом \(1{,}2\cdot 0{,}8=0{,}96\). Від 100 грн: \(100\to 120\to 96\).
Другий відсоток рахується вже від нової, більшої ціни — тому «плюс 20 і мінус 20» не дають нуля.
Відповідь: знизилася на 4 відсотки.
Приклад 5. Подати періодичний дріб \(0{,}(24)\) у вигляді звичайного.
Це сума нескінченної геометричної прогресії: \(0{,}24+0{,}0024+\ldots\), де \(b_1=0{,}24\), \(q=0{,}01\). Тоді \(S=\frac{0{,}24}{1-0{,}01}=\frac{0{,}24}{0{,}99}=\frac{24}{99}=\frac{8}{33}\).
Перевірка діленням: \(8:33=0{,}242424\ldots\)
Відповідь: \(\dfrac{8}{33}\).
Приклад 6. Обчислити \(\dfrac{\sqrt{12}+\sqrt{27}}{\sqrt{3}}\).
Виносимо множники: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\). Чисельник дорівнює \(5\sqrt{3}\), тому вираз дорівнює \(\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=5\).
Без винесення множника довелося б рахувати наближено — і відповідь 5 виглядала б непереконливо.
Відповідь: 5.
Типові помилки
- Вважати, що в довіднику є всі сім формул скороченого множення. Кубів там немає — це найчастіше джерело ступору на скороченні дробів.
- Шукати теорему Вієта серед довідкових матеріалів і втрачати на цьому хвилину. Її там немає.
- Плутати знаки в розкладі \(a^3-b^3\): у другій дужці стоїть плюс \(ab\), хоча в першій — мінус. У сумі кубів навпаки.
- Складати відсотки замість перемножування коефіцієнтів. «Плюс 20, потім мінус 20» дає не 0, а мінус 4 відсотки.
- Застосовувати \(S=\frac{b_1}{1-q}\), не перевіривши умову \(|q| < 1\). Для \(|q|\geqslant 1\) сума не існує.
- Писати \(\sqrt{a^2}=a\) без модуля. Правильно \(\sqrt{a^2}=|a|\) — при від'ємному \(a\) різниця принципова.
- Розраховувати на довідник у принципі. Він відкривається окремо, і кожне звернення до нього коштує 20–40 секунд із двох хвилин на завдання.
Висновок
Довідник НМТ — це страховка на випадок, коли формула вилетіла з голови, а не заміна підготовки. Чотири формули кубів, теорема Вієта, властивості коренів, сума нескінченної прогресії, відсотки, пропорції й ознаки подільності в ньому просто відсутні. Решту вигідніше знати напам'ять, ніж шукати: на 22 завдання й 32 бали часу рівно стільки, скільки потрібно на розв'язання, і жодної секунди більше.
Що саме входить до офіційних матеріалів — розібрано в окремій статті про довідкові матеріали НМТ. Якщо ви хочете довести ці формули до автоматизму й перевірити, де саме зараз провал, запишіться на пробне заняття — за одну зустріч видно, які групи формул уже працюють, а які треба закривати.
Чи дають довідкові матеріали на НМТ з математики?
Так. Довідкові матеріали розміщені наприкінці тестового зошита і містять таблицю квадратів, частину формул алгебри, тригонометрії та геометрії. Але це не повний набір: значної частини шкільних формул там немає, тому покладатися лише на довідник не можна.
Які формули скороченого множення є в довіднику НМТ?
Тільки три: різниця квадратів, квадрат суми і квадрат різниці. Формули з кубами — сума кубів, різниця кубів, куб суми й куб різниці — у довіднику відсутні, їх треба знати напам'ять.
Чи є в довіднику теорема Вієта?
Ні. Довідник містить формулу дискримінанта і формулу коренів квадратного рівняння, але співвідношень між коренями й коефіцієнтами там немає. Теорему Вієта потрібно вивчити.
Скільки завдань і балів на НМТ з математики 2026?
Тест містить 22 завдання, максимальний тестовий бал — 32. У середньому це близько двох хвилин на завдання, тому час на гортання довідника фактично не закладений.
